设F(x)为随机变量X的分布函数,则不一定成立的是()。A. F(x)为不减函数B. F(x)取值在[0,1]内C. F(-∞)=0D. F(x)为连续函数

分布函数是描述随机变量概率分布的核心概念，其性质包括：

1. 单调不减性：随着$x$增大，$F(x)$不减；
2. 取值范围：$F(x) \in [0,1]$；
3. 极限性质：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
4. 右连续性：$F(x^+)$存在且等于$F(x)$。

关键点：

• 连续性并非分布函数的必然性质。离散型随机变量的分布函数在跳跃点处不连续，而连续型随机变量的分布函数处处连续。因此，选项D“不一定成立”。

选项分析

A. $F(x)$为不减函数

根据分布函数定义，若$x_1 < x_2$，则$\{X \leq x_1\} \subseteq \{X \leq x_2\}$，故$F(x_1) \leq F(x_2)$，必然成立。

B. $F(x)$取值在$[0,1]$内

概率值的非负性与归一性保证$0 \leq F(x) \leq 1$，必然成立。

C. $F(-\infty) = 0$

当$x \to -\infty$时，事件$\{X \leq x\}$几乎不可能发生，概率为$0$，必然成立。

D. $F(x)$为连续函数

• 离散型随机变量（如伯努利分布）的分布函数在取值点处有跳跃间断点，此时不连续；
• 连续型随机变量（如正态分布）的分布函数处处连续。
  因此，连续性取决于随机变量类型，不一定成立。