题目

一、单选题（共50题，100.0分） 45.（单选题，2.0分） int_(-5)^5(x^3sin^6x)/(x^4)+2x^(2+7)dx=（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

一、单选题（共50题，100.0分） 45.（单选题，2.0分） $\int_{-5}^{5}\frac{x^{3}\sin^{6}x}{x^{4}+2x^{2}+7}dx=（）$
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

题目解答

答案

被积函数为 $\frac{x^3\sin^6x}{x^4+2x^2+7}$。 - 分子 $x^3$ 为奇函数，$\sin^6x$ 为偶函数，乘积为奇函数。 - 分母 $x^4+2x^2+7$ 为偶函数。 - 整个函数为奇函数（奇函数除以偶函数）。 根据奇函数在对称区间上的积分性质，$\int_{-5}^{5} f(x) \, dx = 0$（其中 $f(x)$ 为奇函数）。 答案：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质及其应用，需要判断被积函数的奇偶性，结合对称区间积分的性质快速求解。

解题核心思路：

  1. 分解被积函数，分别判断分子和分母的奇偶性；
  2. 综合分子和分母的奇偶性，确定整个被积函数的奇偶性；
  3. 利用奇函数在对称区间上的积分性质，直接得出结果。

破题关键点：

  • 分子中的$x^3$是奇函数，$\sin^6 x$是偶函数，乘积为奇函数；
  • 分母$x^4 + 2x^2 + 7$是偶函数；
  • 奇函数除以偶函数仍为奇函数，因此被积函数为奇函数；
  • 积分区间$[-5, 5]$对称，奇函数在对称区间上的积分为$0$。

  1. 判断分子的奇偶性

    • $x^3$是奇函数，$\sin^6 x$是偶函数（奇函数的偶次幂为偶函数）。
    • 奇函数乘以偶函数的结果为奇函数，因此分子$x^3 \sin^6 x$是奇函数。

  2. 判断分母的奇偶性

    • $x^4 + 2x^2 + 7$中所有项均为偶次幂，因此分母是偶函数。

  3. 确定被积函数的奇偶性

    • 奇函数除以偶函数的结果仍为奇函数，因此被积函数$\frac{x^3 \sin^6 x}{x^4 + 2x^2 + 7}$是奇函数。

  4. 应用积分性质

    • 奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分为$0$，因此$\int_{-5}^{5} \frac{x^3 \sin^6 x}{x^4 + 2x^2 + 7} dx = 0$。