题目

设在一电路中，电阻两端的电压(V)服从N(120, 4)，（1）其测量值落在区间[118, 122]之内的概率为______；（2）现独立测量了5次，则有2次测量值落在区间[118, 122]之外的概率为______。

设在一电路中，电阻两端的电压(V)服从$N(120, 4)$， （1）其测量值落在区间$[118, 122]$之内的概率为______； （2）现独立测量了5次，则有2次测量值落在区间$[118, 122]$之外的概率为______。

题目解答

答案

(1) 电压 $V$ 服从 $N(120, 4)$，即 $\mu = 120$，$\sigma = 2$。
$P(118 \leq V \leq 122) = P(-1 \leq Z \leq 1)$，其中 $Z$ 为标准正态变量。
由标准正态分布表，$P(Z \leq 1) \approx 0.8413$，$P(Z \leq -1) \approx 0.1587$，
故 $P(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0.6826$，保留一位小数得 $0.7$。

答案： $0.7$

(2) 单次测量值落在区间外的概率为 $P(V < 118 \text{ 或 } V > 122) = 1 - 0.6826 = 0.3174$。
5次测量中恰有2次落在区间外的概率为二项概率：
$P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.3174)^2 (0.6826)^3 \approx 0.3192$，保留两位小数得 $0.32$。

答案： $0.32$

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) 0.7} \\\text{(2) 0.32} \\\end{array}}$

解析

本题主要考查正态分布和二项分布的相关知识。解题思路如下：

（1）求测量值落在区间$[118, 122]$之内的概率

  • 已知电阻两端的电压$V$服从正态分布$N(120, 4)$，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差。
  • 对于本题，$\mu = 120$，$\sigma=\sqrt{4} = 2$。
  • 计算$P(118\leq V\leq 122)$，将其标准化：
    $\begin{align*}P(118\leq V\leq 122)&=P\left(\frac{118 - 120}{2}\leq\frac{V - 120}{2}\leq\frac{122 - 120}{2}\right)\\&=P(-1\leq Z\leq 1)\end{align*}$
  • 根据标准正态分布的性质$P(-1\leq Z\leq 1)=P(Z\leq 1)-P(Z\leq - 1)$。
  • 查标准正态分布表可得$P(Z\leq 1)\approx0.8413$，$P(Z\leq - 1)\approx0.1587$。
  • 所以$P(-1\leq Z\leq 1)=0.8413 - 0.1587=0.6826$，保留一位小数得$0.7$。

（2）求独立测量$5$次，有$2$次测量值落在区间$[118, 122]$之外的概率

  • 由（1）可知单次测量值落在区间$[118, 122]$内的概率为$0.6826$，那么单次测量值落在区间外的概率$p = 1 - 0.6826=0.3174$。
  • 设$X$表示$5$次测量中落在区间外的次数，因为每次测量是相互独立的，所以$X$服从参数为$n = 5$，$p = 0.3174$的二项分布，即$X\sim B(5,0.3174)$。
  • 根据二项分布的概率公式$P(X = k)=\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，当$n = 5$，$k = 2$时：
    $\begin{align*}P(X = 2)&=\binom{5}{2}(0.3174)^{2}(0.6826)^{3}\\&=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}\times(0.3174)^{2}\times(0.6826)^{3}\\&=\frac{5\times4}{2\times1}\times(0.3174)^{2}\times(0.6826)^{3}\\&=10\times0.10074\times0.3189\\&\approx0.3192\end{align*}$
  • 保留两位小数得$0.32$。