题目
设某小区每户每周用水量服从标准差3 ( 米^3 ) 的正态分布，物业公司对小区内 100 户居民用水量进行抽样调查，得出平均每户每周用水量10( 米^3 ) ，则该小区内居民每户每周用水量平均值的置信度为95%的置信区间为_______( 米^3 )
设某小区每户每周用水量服从标准差3 ( 
) 的正态分布，物业公司对小区内 100 户居民用水量进行抽样调查，得出平均每户每周用水量10( ) ，则该小区内居民每户每周用水量平均值的置信度为95%的置信区间为_______
( 
)
题目解答
答案
答案：（9.412，10.588）
解析：
根据题目给出条件，由于正态分布的均值未知，方差已知，需使用标准正态统计量对总体均值进行区间估计。即
的估计量满足
所以根据标准正态分布性质，可得
所以置信水平为0.95的双侧置信区间满足
本题中
,代入上式，可得 
所以置信区间为（9.412，10.588）
解析
步骤 1：确定总体均值的估计量
根据题目，总体均值未知，但方差已知，因此使用标准正态统计量对总体均值进行区间估计。即估计量满足
$z=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$
其中，$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：确定置信区间
根据标准正态分布性质，置信度为95%的双侧置信区间满足
$-1.96\lt \dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\lt 1.96$
即
$\overline {X}-1.96\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}\lt \mu \lt \overline {X}+1.96\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$
步骤 3：代入已知数据
本题中，$\overline {X}=10$，$n=100$，$\sigma =3$，代入上式，可得
$10-1.96\dfrac {3}{\sqrt {100}}\lt \mu \lt 10+1.96\dfrac {3}{\sqrt {100}}$
$10-1.96\times 0.3\lt \mu \lt 10+1.96\times 0.3$
$9.412\lt \mu \lt 10.588$
根据题目，总体均值未知，但方差已知，因此使用标准正态统计量对总体均值进行区间估计。即估计量满足
$z=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\sim N(0,1)$
其中，$\overline {X}$是样本均值，$\mu$是总体均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
步骤 2：确定置信区间
根据标准正态分布性质，置信度为95%的双侧置信区间满足
$-1.96\lt \dfrac {\overline {X}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}\lt 1.96$
即
$\overline {X}-1.96\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}\lt \mu \lt \overline {X}+1.96\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}$
步骤 3：代入已知数据
本题中，$\overline {X}=10$，$n=100$，$\sigma =3$，代入上式，可得
$10-1.96\dfrac {3}{\sqrt {100}}\lt \mu \lt 10+1.96\dfrac {3}{\sqrt {100}}$
$10-1.96\times 0.3\lt \mu \lt 10+1.96\times 0.3$
$9.412\lt \mu \lt 10.588$