调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%.试求:(1)考生的外语成绩在60分至84分之间的概率;(2)该地外语考试的及格率;(3)若已知第三名的成绩是96分,求不及格的人数。

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及其应用，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用，以及实际问题中的比例估算。

解题核心思路：

1. 确定正态分布参数：利用已知条件（96分以上占比2.3%）求出标准差σ。
2. 标准化转换：将具体分数转化为标准正态变量Z，利用标准正态分布表计算概率。
3. 实际问题应用：结合正态分布的概率结果，估算总人数及不及格人数。

破题关键点：

• 标准化公式：$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，将具体分数转化为标准正态变量。
• 对称性利用：如第（1）问中60分和84分对称于均值72分，可简化计算。
• 实际人数估算：通过概率反推总人数时，需注意题目隐含条件（如“第三名成绩为96分”）对人数的限制。

(1) 考生的外语成绩在60分至84分之间的概率

步骤1：标准化转换

• $X=60$时，$Z = \dfrac{60 - 72}{12} = -1$；
• $X=84$时，$Z = \dfrac{84 - 72}{12} = 1$。

步骤2：计算概率

利用标准正态分布的对称性：
$P(-1 \leq Z \leq 1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$

(2) 该地外语考试的及格率

步骤1：确定及格线

题目隐含及格线为60分（由第（1）问中的60分推断）。

步骤2：标准化转换

$X=60$时，$Z = -1$。

步骤3：计算概率

$P(X \geq 60) = P(Z \geq -1) = 1 - \Phi(-1) = \Phi(1) = 0.8413$

(3) 不及格的人数

步骤1：计算总人数

由$P(X \geq 96) = 0.023$，且“第三名成绩为96分”说明至少有2人成绩高于96分，故：
$n = \dfrac{2}{0.023} \approx 86.96 \quad (\text{取整为} \ 87)$

步骤2：计算不及格人数

不及格率为$1 - 0.8413 = 0.1587$，故：
$\text{不及格人数} = 0.1587 \times 87 \approx 14$