题目
15.设X_(1),X_(2),...,X_(m)来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，overline(X)和S^2分别为样本均值和样本方差.若overline(X)+kS^2为np^2的无偏估计量，则k=____.
15.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{m}$来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，$\overline{X}$和$S^{2}$分别为样本均值和样本方差.若$\overline{X}+kS^{2}$为$np^{2}$的无偏估计量，则k=____.
题目解答
答案
根据题意，$\overline{X}$和$S^2$分别为样本均值和样本方差，且$\overline{X} + kS^2$是$np^2$的无偏估计量。由二项分布$B(n, p)$的性质，有：
\[
E(\overline{X}) = E(X_i) = np, \quad E(S^2) = D(X_i) = np(1-p)
\]
由于$\overline{X} + kS^2$是$np^2$的无偏估计量，满足：
\[
E(\overline{X} + kS^2) = np^2
\]
将期望值代入得：
\[
E(\overline{X}) + kE(S^2) = np + k \cdot np(1-p) = np^2
\]
整理得：
\[
np + k np(1-p) = np^2
\]
两边同时除以$np$（假设$n > 0, p > 0$）：
\[
1 + k(1-p) = p
\]
解得：
\[
k(1-p) = p - 1 \implies k = \frac{p-1}{1-p} = -1
\]
因此，$k = -1$。
答案：$k = -1$。