设f(x)是[a,b]上的单调函数,则f(x)一定是[a,b]上的有界变差函数。A. 对B. 错

本题考查有界变差函数的定义以及单调函数的性质，解题思路是根据有界变差函数的定义，结合单调函数的特点来判断单调函数是否为有界变差函数。

1. 明确有界变差函数的定义

设函数 $y = f(x)$ 定义在区间 $[a,b]$ 上，对于 $[a,b]$ 的任意一个分割 $T$：$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，记
$V_a^b(f)=\sup_{T}\sum_{i = 1}^{n}\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert$
若 $V_a^b(f)<+\infty$，则称 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数。

2. 分析单调函数的情况

不妨设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的单调递增函数（单调递减函数情况类似）。
对于 $[a,b]$ 的任意一个分割 $T$：$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，由于 $f(x)$ 单调递增，则 $f(x_i)-f(x_{i - 1})\geqslant0$，那么
$\sum_{i = 1}^{n}\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert=\sum_{i = 1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i - 1}))$
根据裂项相消法，$\sum_{i = 1}^{n}(f(x_i)-f(x_{i - 1}))=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)$。

3. 确定有界变差

因为 $f(b)$ 和 $f(a)$ 是确定的常数，所以 $\sum_{i = 1}^{n}\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert=f(b)-f(a)$ 是一个与分割 $T$ 无关的常数。
那么 $V_a^b(f)=\sup_{T}\sum_{i = 1}^{n}\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert=f(b)-f(a)<+\infty$，满足有界变差函数的定义。
同理，当 $f(x)$ 是单调递减函数时，$\sum_{i = 1}^{n}\vert f(x_i)-f(x_{i - 1})\vert=\sum_{i = 1}^{n}(f(x_{i - 1})-f(x_i))=f(a)-f(b)<+\infty$，也满足有界变差函数的定义。

所以，设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数，则 $f(x)$ 一定是 $[a,b]$ 上的有界变差函数，该说法是正确的。