题目
某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布,为了解其平均寿命,从中抽出n件产品测其实际寿命,试说明什么是总体,什么是样本 ,并指出样本的分布.
某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布,为了解其平均寿命,从中抽出n件产品测其实际寿命,试说明什么是总体,什么是样本 ,并指出样本的分布.
题目解答
答案
解 总体是该厂生产的电容器的寿命,或者可以说总体是指数分布,其分布为
;
样本是该厂中抽出的n个电容器的寿命;
记第i个电容器的寿命为
,则
,
,样本(
)的分布为
,其中
.
解析
步骤 1：定义总体
总体是指该厂生产的电容器的寿命，或者可以说总体是指数分布，其分布为$Exp(\lambda)$，其中$\lambda$是指数分布的参数，表示电容器的平均寿命的倒数。
步骤 2：定义样本
样本是指从总体中随机抽取的n个电容器的寿命，记为$x_1, x_2, \ldots, x_n$。
步骤 3：样本的分布
由于每个电容器的寿命服从指数分布$Exp(\lambda)$，因此样本$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$的联合概率密度函数为：
$$
f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}
$$
其中，$\sum_{i=1}^{n} x_i$表示样本的总寿命。
总体是指该厂生产的电容器的寿命，或者可以说总体是指数分布，其分布为$Exp(\lambda)$，其中$\lambda$是指数分布的参数，表示电容器的平均寿命的倒数。
步骤 2：定义样本
样本是指从总体中随机抽取的n个电容器的寿命，记为$x_1, x_2, \ldots, x_n$。
步骤 3：样本的分布
由于每个电容器的寿命服从指数分布$Exp(\lambda)$，因此样本$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$的联合概率密度函数为：
$$
f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i}
$$
其中，$\sum_{i=1}^{n} x_i$表示样本的总寿命。