例2.4.6 设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从N(μ,σ^2 ),已知有-|||-25%的天数超过400辆,有33%的天数不到350辆,求μ,σ.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及参数估计，需要将给定的概率转化为标准正态分布的Z分数，建立方程组求解均值μ和标准差σ。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将题目中的概率条件转化为标准正态分布下的Z值。
2. 建立方程：根据标准化后的Z值，建立关于μ和σ的方程组。
3. 联立求解：通过代数运算解出μ和σ。

破题关键点：

• 正确使用标准正态分布表：根据概率值找到对应的Z值，注意区分左侧和右侧概率。
• 方程符号处理：注意标准化公式中的分子符号，避免方向错误。

步骤1：标准化转换

1. 条件1：$P(X > 400) = 0.25$
   对应标准正态分布的概率为：
   $P\left(Z > \frac{400 - \mu}{\sigma}\right) = 0.25$
   查标准正态分布表，右侧概率0.25对应左侧概率0.75，得：
   $\frac{400 - \mu}{\sigma} = 0.675$

2. 条件2：$P(X < 350) = 0.33$
   对应标准正态分布的概率为：
   $P\left(Z < \frac{350 - \mu}{\sigma}\right) = 0.33$
   查标准正态分布表，得：
   $\frac{350 - \mu}{\sigma} = -0.440$

步骤2：建立方程组

根据上述标准化结果，得到方程组：
$\begin{cases}\frac{400 - \mu}{\sigma} = 0.675 \\\frac{350 - \mu}{\sigma} = -0.440\end{cases}$

步骤3：联立求解

1. 整理方程：

   • 第一式：$400 - \mu = 0.675\sigma \quad \Rightarrow \mu = 400 - 0.675\sigma$
   • 第二式：$350 - \mu = -0.440\sigma \quad \Rightarrow \mu = 350 + 0.440\sigma$

2. 联立等式：
   $400 - 0.675\sigma = 350 + 0.440\sigma$
   整理得：
   $50 = 1.115\sigma \quad \Rightarrow \sigma \approx 44.84$

3. 代入求μ：
   $\mu = 400 - 0.675 \times 44.84 \approx 369.73$