若函数f(x)在x_(0)处不可导，则f(x)在x_(0)处必不连续。 ( )A. 对B. 错

本题考查函数可导性与连续性的关系。解题思路是明确函数可导和连续的定义及它们之间的逻辑联系，通过分析可导与连续的推导关系来判断该命题的对错。

1. 明确函数可导和连续的定义

• 函数$y = f(x)$在点$x_0$处连续的定义为：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，即函数在该点的极限值等于该点的函数值。
• 函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导的定义为：$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在。

2. 分析可导与连续的关系

• 若函数$f(x)$在$x_0$处可导，即$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=A$（$A$为常数）存在。
  • 那么$\lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)]=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x$。
  • 根据极限的乘法法则$\lim\limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)]=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta x=A\times0 = 0$。
  • 即$\lim\limits_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$，所以函数$f(x)$在$x_0$处连续。这表明可导一定连续。
• 但是连续不一定可导，例如函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续。
  • 因为$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (-x)=0$，$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$，且$f(0)=0$，所以$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$，函数在$x = 0$处连续。
  • 而$f^\prime_-(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x - 0}{\Delta x}=-1$，$f^\prime_+(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x}=1$，$f^\prime_-(0)\neq f^\prime_+(0)$，所以函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导。

3. 判断命题对错

由上述分析可知，函数在某点不可导，不能推出函数在该点不连续，所以“若函数$f(x)$在$x_0$处不可导，则$f(x)$在$x_0$处必不连续”这个命题是错误的。