题目
某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布。今从这批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为（单位:k ）:42.5，42.7，43.0，42.3，43.4，44.5，44.0，43.8，44.1，43.9，43.7。求: 平均抗弯强度mu的置信度为0.95的置信区间；A. (40.12, 43.1)B. (42.96, 43.93)C. (41.23, 44.54)D. (39.12, 40.98)
某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布。今从这批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯强度为（单位:$k $）:42.5，42.7，43.0，42.3，43.4，44.5，44.0，43.8，44.1，43.9，43.7。求: 平均抗弯强度$\mu$的置信度为0.95的置信区间；
A. (40.12, 43.1)
B. (42.96, 43.93)
C. (41.23, 44.54)
D. (39.12, 40.98)
题目解答
答案
B. (42.96, 43.93)
解析
步骤 1：计算样本均值
计算样本均值 $\bar{x}$，即所有样本值的平均值。样本值为：42.5，42.7，43.0，42.3，43.4，44.5，44.0，43.8，44.1，43.9，43.7。
\[ \bar{x} = \frac{1}{11} \sum x_i = \frac{1}{11} (42.5 + 42.7 + 43.0 + 42.3 + 43.4 + 44.5 + 44.0 + 43.8 + 44.1 + 43.9 + 43.7) \approx 43.45 \]
步骤 2：计算样本标准差
计算样本标准差 $s$，即样本值与样本均值之差的平方和的平均值的平方根。
\[ s = \sqrt{\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2} \approx 0.721 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于置信度 0.95 和自由度 10（样本量减一），查 t 分布表得到 $t_{0.025,10} \approx 2.228$。
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值 $\bar{x}$，样本标准差 $s$，t 分布临界值 $t_{0.025,10}$ 和样本量 $n=11$，计算平均抗弯强度 $\mu$ 的置信区间。
\[ \left( \bar{x} - t_{0.025,10} \frac{s}{\sqrt{11}}, \bar{x} + t_{0.025,10} \frac{s}{\sqrt{11}} \right) \approx (42.96, 43.93) \]
计算样本均值 $\bar{x}$，即所有样本值的平均值。样本值为：42.5，42.7，43.0，42.3，43.4，44.5，44.0，43.8，44.1，43.9，43.7。
\[ \bar{x} = \frac{1}{11} \sum x_i = \frac{1}{11} (42.5 + 42.7 + 43.0 + 42.3 + 43.4 + 44.5 + 44.0 + 43.8 + 44.1 + 43.9 + 43.7) \approx 43.45 \]
步骤 2：计算样本标准差
计算样本标准差 $s$，即样本值与样本均值之差的平方和的平均值的平方根。
\[ s = \sqrt{\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2} \approx 0.721 \]
步骤 3：确定 t 分布临界值
对于置信度 0.95 和自由度 10（样本量减一），查 t 分布表得到 $t_{0.025,10} \approx 2.228$。
步骤 4：计算置信区间
根据样本均值 $\bar{x}$，样本标准差 $s$，t 分布临界值 $t_{0.025,10}$ 和样本量 $n=11$，计算平均抗弯强度 $\mu$ 的置信区间。
\[ \left( \bar{x} - t_{0.025,10} \frac{s}{\sqrt{11}}, \bar{x} + t_{0.025,10} \frac{s}{\sqrt{11}} \right) \approx (42.96, 43.93) \]