题目
四、分析题（15分）试分析初值问题}(dy)/(dx)=x^2+y^2,R:|x|leq1,|y|leq1y(0)=0的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.
四、分析题（15分）
试分析初值问题
$\begin{cases}\frac{dy}{dx}=x^{2}+y^{2},R:|x|\leq1,|y|\leq1\\y(0)=0\end{cases}$
的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.
题目解答
答案
**解的存在区间：**
函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在区域 $R: |x| \leq 1, |y| \leq 1$ 上连续，最大值 $M = 2$。由皮卡存在定理，解在区间 $[-h, h]$ 上存在，其中 $h = \min(1, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$。
**解的存在区间：** $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
**第二次近似解：**
初始近似 $\varphi_0(x) = 0$，
第一次近似 $\varphi_1(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}$，
第二次近似 $\varphi_2(x) = \int_0^x \left(t^2 + \left(\frac{t^3}{3}\right)^2\right) \, dt = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63}$。
**第二次近似解：** $\varphi_2(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63}$
**误差估计：**
利普希茨常数 $L = 2$，
误差公式 $\left| \varphi(x) - \varphi_2(x) \right| \leq \frac{M L^2 h^3}{3!} = \frac{2 \cdot 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3}{6} = \frac{1}{6}$。
**误差估计：** $\frac{1}{6}$
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{解的存在区间:} & \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \\
\text{第二次近似解:} & \varphi_2(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63} \\
\text{误差估计:} & \frac{1}{6}
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查微分方程初值问题解的存在唯一性定理（皮卡定理）、逐次逼近法（皮卡迭代）求近似解，以及误差估计。
解题核心思路：
- 解的存在区间：利用皮卡定理，通过函数$f(x,y)=x^2+y^2$在区域$R$上的连续性和利普希茨条件确定解的最大存在区间。
- 第二次近似解：通过逐次逼近法迭代两次，逐步逼近精确解。
- 误差估计：结合利普希茨常数$L$和误差公式，估计第二次近似解与精确解的误差。
破题关键点：
- 确定$M$和$L$：$M$是$f(x,y)$在$R$上的最大值，$L$是$f$对$y$的利普希茨常数。
- 迭代公式的正确应用：每次迭代需将前一次的近似解代入积分表达式。
- 误差公式的代入计算：注意公式中各项的指数和阶乘关系。
解的存在区间
- 函数连续性：$f(x,y)=x^2+y^2$在闭区域$R:|x|\leq1,|y|\leq1$上连续。
- 确定$M$：在$R$上，$f(x,y)$的最大值为$M=1^2+1^2=2$。
- 应用皮卡定理：解的存在区间长度为$h=\min\left\{1, \frac{1}{M}\right\}=\min\left\{1, \frac{1}{2}\right\}=\frac{1}{2}$，故存在区间为$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$。
第二次近似解
- 初始近似：$\varphi_0(x)=0$（由初始条件$y(0)=0$直接得）。
- 第一次近似：
$\varphi_1(x)=\int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}.$ - 第二次近似：
$\varphi_2(x)=\int_0^x \left(t^2 + \left(\frac{t^3}{3}\right)^2\right) dt = \frac{x^3}{3} + \frac{x^7}{63}.$
误差估计
- 确定利普希茨常数$L$：$\frac{\partial f}{\partial y}=2y$，在$R$上$|2y|\leq2$，故$L=2$。
- 误差公式：
$\left| \varphi(x) - \varphi_2(x) \right| \leq \frac{M L^2 h^3}{3!} = \frac{2 \cdot 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3}{6} = \frac{1}{6}.$