某旅行社随机访问了 16 名 旅游者，得知平均消费额overline (x)=503.75元，样本标准差overline (x)=503.75元，已知旅游者消费额服从正态分布，求旅游者平均消费额overline (x)=503.75的置信系数为95%的置信区间。（overline (x)=503.75overline (x)=503.75）

考查要点：本题主要考查小样本均值的置信区间估计，涉及t分布的应用。

解题核心思路：

1. 确定置信水平：题目要求置信系数为95%，即$\alpha=0.05$。
2. 判断分布类型：由于总体方差未知且样本量$n=16$（小样本），需使用t分布。
3. 计算自由度：自由度为$n-1=15$，结合题目提供的$t_{0.025}(15)=2.1315$。
4. 代入置信区间公式：$\overline{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$，逐步计算区间上下限。

破题关键点：

• 正确选择t值：注意题目中给出的$t_{0.025}(15)$是关键，需与自由度匹配。
• 标准误差计算：$\frac{s}{\sqrt{n}}$是误差项的核心部分。

步骤1：确定参数与临界值

• 置信水平$1-\alpha=0.95$，故$\alpha=0.05$。
• 自由度$n-1=15$，查表得$t_{\alpha/2}(15)=t_{0.025}(15)=2.1315$。

步骤2：计算标准误差

$\text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6.2022}{\sqrt{16}} = \frac{6.2022}{4} = 1.55055$

步骤3：计算边际误差

$\text{边际误差} = t_{0.025}(15) \cdot \text{标准误差} = 2.1315 \times 1.55055 \approx 3.315$

步骤4：求置信区间

• 下限：$\overline{x} - \text{边际误差} = 503.75 - 3.315 = 500.435$
• 上限：$\overline{x} + \text{边际误差} = 503.75 + 3.315 = 507.065$

最终置信区间：$(500.445, 507.055)$（保留三位小数）。