题目

对于线性回归模型=(X)_(beta )+varepsilon ,假设X的第一列元素全为1,且=(X)_(beta )+varepsilon 为y的最小二乘预测值。定义A和B有如下表达式=(X)_(beta )+varepsilon 则A和B的关系为()。A.=BB.A<BC.A>BD.A与B大小关系不确定

对于线性回归模型 $y=X\beta+\varepsilon$ ,假设X的第一列元素全为1,且 $\hat{y}$ 为y的最小二乘预测值。定义A和B有如下表达式 $A= \sum _ {i=1} ^ { m} (y_{i} -\hat{y_{i}}),B=\sum _ {i=1} ^n \hat y_i(y_i- \hat y_i),$

则A和B的关系为()。

A.=B

B.A<B

C.A>B

D.A与B大小关系不确定

题目解答

答案

对于线性回归模型，由普通最小二乘估计的过程知，

$\sum _ {i=1} ^ { n} (y_{i} -\hat{y_{i}})=\sum _ {i=1} ^ { n} x_{i1}(y_{i} -\hat{y_{i}})$

$=\cdots=\sum _ {i=1} ^ { n} x_{ip}(y_{i} -\hat{y_{i}})=0$

因此

$A= \sum _ {i=1} ^ { m} (y_{i} -\hat{y_{i}})=0$

$B=\sum _ {i=1} ^n \hat y_i(y_i- \hat y_i)=\sum _ {i=1} ^n（\beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\cdots+\beta_{p}x_{ip}）(y_{i}-\hat{y_{i}})$

$=\beta_{0}\sum^{n}_{i=1}(y_{i}-\hat{y_{i}})+\beta_{1}\sum^{n}_{i=1}x_{i1}(y_{i}-\hat{y_{i}})+\cdots+\beta_{p}\sum^{n}_{i=1}x_{ip}(y_{i}-\hat{y_{i}})=0$

综上所述，本题答案为A.

对于线性回归模型=(X)_(beta )+varepsilon ,假设X的第一列元素全为1,且=(X)_(beta )+varepsilon 为y的最小二乘预测值。定义A和B有如下表达式=(X)_(beta )+varepsilon 则A和B的关系为()。A.=BB.A&lt;BC.A&gt;BD.A与B大小关系不确定

题目解答

答案

对于线性回归模型=(X)_(beta )+varepsilon ,假设X的第一列元素全为1,且=(X)_(beta )+varepsilon 为y的最小二乘预测值。定义A和B有如下表达式=(X)_(beta )+varepsilon 则A和B的关系为()。A.=BB.A<BC.A>BD.A与B大小关系不确定