设总体 X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n 是总体 X 的一个简单随机样本，overline(X)，S^2 分别为样本均值和样本方差，则下列式子不正确的是（ ）。A. (overline(X) - mu)/(sigma / sqrt(n)) sim N(0, 1)B. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - mu)^2 sim chi^2(n)C. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2 sim chi^2(n)D. (overline(X) - mu)/(S / sqrt(n)) sim t(n-1)

本题主要考查正态总体下样本均值、样本方差的分布以及几个重要统计量的分布性质。解题的关键在于准确掌握各个统计量的定义和分布定理。

选项A

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$是总体$X$的一个简单随机样本。
根据正态分布的性质：若$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
对$\overline{X}$进行标准化变换，令$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，根据正态分布标准化的定义，可知$Z\sim N(0,1)$，所以选项A正确。

选项B

因为$X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，那么$\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，$i = 1,2,\cdots,n$。
又因为$\chi^2$分布的定义为：若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^2\sim\chi^2(n)$。
在这里$Z_i=\frac{X_i - \mu}{\sigma}$，所以$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i - \mu}{\sigma})^2\sim\chi^2(n)$，选项B正确。

选项C

根据样本方差的定义$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$，则$\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$。
由$\chi^2$分布的性质可知，当总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$时，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$，而不是$\chi^2(n)$，所以选项C错误。

选项D

由选项A可知$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，由选项C可知$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$。
根据$t$分布的定义：若$U\sim N(0,1)$，$V\sim\chi^2(n)$，且$U$与$V$相互独立，则$T=\frac{U}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$。
在这里$U = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，$V=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$，$n$替换为$n - 1$，则$\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}/(n - 1)}}\sim t(n - 1)$，选项D正确。