题目
某地区的年降雨量 ( 单位毫米 ) sim N(mu ,(sigma )^2)现对其年降雨量连续进行 5 测得样本方差 sim N(mu ,(sigma )^2) 则 sim N(mu ,(sigma )^2) 的置信水平为 0.9 的置信区间为 ______sim N(mu ,(sigma )^2)
某地区的年降雨量 ( 单位毫米 ) 
现对其年降雨量连续进行 5 测得样本方差 
则 
的置信水平为 0.9 的置信区间为 ______
题目解答
答案
解：根据题目给出的条件，由于正态分布的均值与方差均未知，因此需要使用卡方分布进行区间估计。对估计量有
所以置信水平为0.9的双侧置信区间满足
解得：
题中，
解得置信区间为：
解析
步骤 1：确定样本方差和样本容量
根据题目，样本方差 ${s}^{2}=300$，样本容量 $n=5$。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为 0.9，自由度 $n-1=4$。
步骤 3：确定卡方分布的临界值
根据题目给出的条件，${{x}_{0.05}}^{2}(4)=a$ 和 ${{x}_{0.95}}^{2}(4)=b$。
步骤 4：计算置信区间
根据卡方分布的性质，置信水平为 0.9 的双侧置信区间满足
$\dfrac {(n-1){s}^{2}}{{{x}_{0.975}}^{2}(n-1)}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {(n-1){s}^{2}}{{{x}_{0.025}}^{2}(n-1)}$
代入已知值，得到
$\dfrac {4\times 300}{b}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {4\times 300}{a}$
化简得到
$\dfrac {1200}{b}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {1200}{a}$
根据题目，样本方差 ${s}^{2}=300$，样本容量 $n=5$。
步骤 2：确定置信水平和自由度
置信水平为 0.9，自由度 $n-1=4$。
步骤 3：确定卡方分布的临界值
根据题目给出的条件，${{x}_{0.05}}^{2}(4)=a$ 和 ${{x}_{0.95}}^{2}(4)=b$。
步骤 4：计算置信区间
根据卡方分布的性质，置信水平为 0.9 的双侧置信区间满足
$\dfrac {(n-1){s}^{2}}{{{x}_{0.975}}^{2}(n-1)}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {(n-1){s}^{2}}{{{x}_{0.025}}^{2}(n-1)}$
代入已知值，得到
$\dfrac {4\times 300}{b}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {4\times 300}{a}$
化简得到
$\dfrac {1200}{b}\lt {\sigma }^{2}\lt \dfrac {1200}{a}$