题目
9.设总体Xsim P(lambda),lambda>0, X_(1),X_(2),...,X_(n)是一子样，证明overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)是λ的无偏、一致、有效估计.
9.设总体$X\sim P(\lambda),\lambda>0$, $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是一子样，证明$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是λ的无偏、一致、有效估计.
题目解答
答案
设总体 $X \sim P(\lambda)$，其中 $\lambda > 0$，样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布。
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无偏性：
$\mathbb{E}[\overline{X}] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\lambda = \lambda$
故 $\overline{X}$ 是 $\lambda$ 的无偏估计。 -
一致性：
由大数定律，当 $n \to \infty$ 时，$\overline{X}$ 依概率收敛于 $\lambda$，即 $\overline{X}$ 是一致估计。 -
有效性：
$\text{Var}(\overline{X}) = \frac{\lambda}{n}$
Cramér-Rao 下界为 $\frac{\lambda}{n}$，与 $\text{Var}(\overline{X})$ 相等，故 $\overline{X}$ 是有效估计。
结论：$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 是 $\lambda$ 的无偏、一致、有效估计。
$\boxed{\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i}$