每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。求一年中该地区受台风袭击次数为3~5的概率。

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率计算，以及如何利用累积分布函数求解区间概率。

解题核心思路：
泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda=4$。题目要求计算 $P(3 \leq X \leq 5)$，可通过以下两种方式解决：

1. 直接求和法：分别计算 $P(X=3)$、$P(X=4)$、$P(X=5)$，再相加。
2. 累积差法：利用泊松分布的累积分布函数，计算 $P(X \leq 5) - P(X \leq 2)$，即区间 $[3,5]$ 的概率。

破题关键点：

• 正确应用泊松公式，注意阶乘和指数的计算。
• 累积概率的查表或计算技巧，若手动计算复杂，可借助计算器或泊松分布表。

步骤1：确定泊松分布参数
题目中明确给出参数 $\lambda = 4$，因此概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{4^k e^{-4}}{k!}$

步骤2：选择解题方法
采用累积差法，计算 $P(3 \leq X \leq 5) = P(X \leq 5) - P(X \leq 2)$。

步骤3：计算累积概率

• $P(X \leq 5)$：查泊松分布表或计算得 $0.76189$。
• $P(X \leq 2)$：查表或计算得 $0.21487$。

步骤4：求区间概率
$P(3 \leq X \leq 5) = 0.76189 - 0.21487 = 0.54702$