题目
下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是()A. sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2=sum_(i=1)^nX_(i)^2-n(overline(X))^2B. overline(X) 与S^2 相互独立C. E(hat(theta)-theta)^2=D(hat(theta))+[E(hat(theta))-theta]^2D. E[sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)^2]=nsigma^2
下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是()
A. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n(\overline{X})^{2}$
B. $\overline{X}$ 与$S^{2}$ 相互独立
C. $E(\hat{\theta}-\theta)^{2}=D(\hat{\theta})+[E(\hat{\theta})-\theta]^{2}$
D. $E[\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}]=n\sigma^{2}$
题目解答
答案
B. $\overline{X}$ 与$S^{2}$ 相互独立
解析
步骤 1：分析选项A
该等式为平方和的恒等变换，对任意分布均成立。
步骤 2：分析选项B
正态总体下，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^2$ 相互独立，非正态总体则不一定。
步骤 3：分析选项C
均方误差公式 $E(\hat{\theta}-\theta)^2 = D(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})-\theta]^2$ 对任何估计量成立。
步骤 4：分析选项D
期望公式 $E[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2] = n\sigma^2$ 对任意分布成立。
该等式为平方和的恒等变换，对任意分布均成立。
步骤 2：分析选项B
正态总体下，样本均值 $\overline{X}$ 与样本方差 $S^2$ 相互独立，非正态总体则不一定。
步骤 3：分析选项C
均方误差公式 $E(\hat{\theta}-\theta)^2 = D(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})-\theta]^2$ 对任何估计量成立。
步骤 4：分析选项D
期望公式 $E[\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2] = n\sigma^2$ 对任意分布成立。