设 A 为 m times n 矩阵 R(A) = r A. A 中 r 阶子式不全为0B. A 为满秩矩阵C. A 中小于 r 阶的子式全为0D. A 中最高阶子式的阶数是 r

本题考查矩阵的秩的定义及相关性质。解题的关键在于理解矩阵秩的概念，即矩阵的秩等于矩阵中非零子式的最高阶数。

对各选项的分析

• 选项A：
  根据矩阵秩的定义，矩阵$A$的秩$R(A)=r$，意味着矩阵$A$中存在一个$r$阶子式的值不为$0$，也就是$A$中$r$阶子式不全为$0$，所以该选项正确。
• 选项B：
  满秩矩阵是指矩阵的秩等于矩阵的行数或列数。已知$R(A)=r \lt m \lt n$，矩阵$A$的秩既不等于行数$m$，也不等于列数$n$，所以$A$不是满秩矩阵，该选项错误。
• 选项C：
  因为矩阵$A$的秩为$r$，说明存在$r$阶非零子式，而小于$r$阶的子式有可能不为$0$。例如，一个$3\times4$矩阵，秩为$2$，可能存在一阶子式不为$0$，所以该选项错误。
• 选项D：
  矩阵的秩$R(A)=r$，表示矩阵$A$中最高阶非零子式的阶数是$r$，而不是最高阶子式的阶数是$r$。因为矩阵中可能存在$r + 1$阶子式，但这些子式的值都为$0$，所以该选项错误。