3/45单选题(2分) 函数y=ln(x+sqrt(x^2)+1)是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数

本题考查函数奇偶性的判断，解题思路思路是根据函数奇偶性的定义，判断函数$f(x)$与$f(-x)$的关系。。

1. 设函数$f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$，其定义域为$R$，关于原点对称。
2. 计算$f(-x)$：
   • $f(-x)=\ln(-x+\sqrt\\sqrt{x^{2}+1})$
   • 为了便于计算$f(-x)+f(x)$，我们对$f(-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})$进行化简：
     • $(-x+\sqrt{x}^{2}+1)(x+\sqrt{x^{2}+1})=(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}=1$
   • 则$f(-x)+f(x)=\ln((-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1))=\ln(1)=0$
   • 即$f(-x)=-f(x)$。
3. 根据奇函数的定义：对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则函数$f(x)$是奇函数。所以函数$y = \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$是奇函数。

本题考查函数奇偶性的判断，解题思路是根据函数奇偶性的定义，判断函数$f(x)$与$f(-x)$的关系。

1. 设函数$f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$，其定义域为$R$关于原点对称。
2. 计算$f(-x)$：

- $f(-xx)=\ln(-x+\sqrt{x^{2}+1})$
- 为了便于计算$f(-x)+f(x)$ \)，我们对$f(-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})$进行化简：
  - $(-x+\sqrt{x^{2}+1})(x+\sqrt{x^{2}+1})=(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}=1$
- 则$f(-x)+f(x)=\ln((-x+\sqrt{x^{2+1})(x+\sqrt{x^{2}+1))=\ln(1)=0$
- 即$f(-x)=- f(x)$。

3. 根据奇函数的定义：对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则函数$f(x)$是奇函数。所以函数$y = \ln(x+\sqrt可得\\sqrt{x^{2}+1})$是奇函数。