题目
3、设随机变量X，Y相互独立且都服从正态分布N(μ，σ²)，则P(|X-Y|A. 与μ有关，与σ²无关B. 与μ无关，与σ²有关C. 与μ，σ²都有关D. 与μ，σ²都无关
3、设随机变量X，Y相互独立且都服从正态分布N(μ，σ²)，则P{|X-Y|<1}=( )
A. 与μ有关，与σ²无关
B. 与μ无关，与σ²有关
C. 与μ，σ²都有关
D. 与μ，σ²都无关
题目解答
答案
B. 与μ无关，与σ²有关
解析
步骤 1：定义新随机变量
设 $ Z = X - Y $，由于 $ X $ 和 $ Y $ 都服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，且相互独立，因此 $ Z $ 也服从正态分布。根据正态分布的性质，$ Z $ 的均值为 $ \mu - \mu = 0 $，方差为 $ \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2 $，即 $ Z \sim N(0, 2\sigma^2) $。
步骤 2：标准化
为了方便计算，将 $ Z $ 标准化，即 $ U = \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} $。由于 $ Z \sim N(0, 2\sigma^2) $，则 $ U \sim N(0, 1) $，即 $ U $ 服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
$ P\{|X-Y| < 1\} = P\{|Z| < 1\} = P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < U < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right\} $。利用标准正态分布的对称性，该概率为 $ 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1 $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：分析结果
由于 $ 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1 $ 仅与 $ \sigma $ 有关，与 $ \mu $ 无关，因此 $ P\{|X-Y| < 1\} $ 仅与 $ \sigma $ 有关，与 $ \mu $ 无关。
设 $ Z = X - Y $，由于 $ X $ 和 $ Y $ 都服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，且相互独立，因此 $ Z $ 也服从正态分布。根据正态分布的性质，$ Z $ 的均值为 $ \mu - \mu = 0 $，方差为 $ \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2 $，即 $ Z \sim N(0, 2\sigma^2) $。
步骤 2：标准化
为了方便计算，将 $ Z $ 标准化，即 $ U = \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} $。由于 $ Z \sim N(0, 2\sigma^2) $，则 $ U \sim N(0, 1) $，即 $ U $ 服从标准正态分布。
步骤 3：计算概率
$ P\{|X-Y| < 1\} = P\{|Z| < 1\} = P\left\{-\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < U < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right\} $。利用标准正态分布的对称性，该概率为 $ 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1 $，其中 $ \Phi $ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：分析结果
由于 $ 2\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right) - 1 $ 仅与 $ \sigma $ 有关，与 $ \mu $ 无关，因此 $ P\{|X-Y| < 1\} $ 仅与 $ \sigma $ 有关，与 $ \mu $ 无关。