图为弯管机的夹紧机构示意图，已知：压力缸直径mathrm(D)=120mathrm(mm)，压强mathrm(p)=6mathrm(MPa)，各构件重量和各处摩擦不计。求角mathrm(theta )=(30)^circ 平衡时产生的水平夹紧力F。A B F-|||-=-|||-p-|||-D
图为弯管机的夹紧机构示意图，已知：压力缸直径$\mathrm{D}=120\mathrm{mm}$，压强$\mathrm{p}=6\mathrm{MPa}$，各构件重量和各处摩擦不计。求角$\mathrm{\theta }={30}^{\circ }$平衡时产生的水平夹紧力F。
题目解答
答案
【答案】
$5.88\times {10}^{4}N$
【解析】
对节点受力分析如图所示，压力缸通过杆对节点力的大小为：${F}_{D}=ps=p\frac{{\mathrm{\pi D}}^{2}}{4}\approx 6.79\times {10}^{4}N$，当$\theta ={30}^{\circ }$时，由几何关系得，${F}_{A}\,、{F}_{C}、{F}_{D}$互成${120}^{\circ }$夹角，由平衡条件可知：${F}_{A}\,={F}_{C}={F}_{D}=6.79\times {10}^{4}N$ ;
对C受力分析如图所示：由平衡条件得：$F={F}_{C}{'}\cos {30}^{\circ }$ ，已知：${F}_{C}{'}={F}_{C}=6.79\times {10}^{4}N$，解得：水平夹紧力F为：$F\approx 5.88\times {10}^{4}N$ 。
解析
考查要点：本题主要考查压力计算、力的平衡条件以及力的分解的应用。
解题思路：
- 计算压力缸产生的力：利用压强公式 $F = pS$，结合圆面积公式求出压力缸对节点的力 $F_D$。
- 分析节点受力平衡：通过几何关系判断三个力 $F_A$、$F_C$、$F_D$ 的大小关系，利用平衡条件得出它们相等。
- 分解力求水平夹紧力：将 $F_C$ 沿水平方向分解，结合角度 $\theta = 30^\circ$ 计算最终的水平夹紧力 $F$。
步骤1：计算压力缸产生的力 $F_D$
压力缸的横截面积为：
$S = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi \times (0.12\,\text{m})^2}{4} \approx 0.01131\,\text{m}^2$
压力缸产生的力为：
$F_D = pS = 6 \times 10^6\,\text{Pa} \times 0.01131\,\text{m}^2 \approx 6.79 \times 10^4\,\text{N}$
步骤2：分析节点受力平衡
当 $\theta = 30^\circ$ 时，三个力 $F_A$、$F_C$、$F_D$ 互成 $120^\circ$ 夹角。根据平衡条件，三个力大小相等：
$F_A = F_C = F_D = 6.79 \times 10^4\,\text{N}$
步骤3：分解力 $F_C$ 求水平夹紧力 $F$
将 $F_C$ 沿水平方向分解，水平分力为：
$F = F_C \cos 30^\circ = 6.79 \times 10^4\,\text{N} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.88 \times 10^4\,\text{N}$