题目
如图4.7所示质量为72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带-|||-长20m,劲度系数为 60N/m (忽略空气阻力)。-|||-(1)此人自跳台跳出后,落下多高时速度最大?此最大速度是-|||-多少?-|||-(2)已知跳台高于下面水面60m。此人跳下后会不会触到水面?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定速度最大时的条件
当蹦极带对人的向上拉力和他受的重力相等时，速度最大。设蹦极带的原长为$l_0$，伸长的长度为$l$，则速度最大时，有$mg = kl$。由此可得$l = \frac{mg}{k}$。
步骤 2：计算速度最大时下落的距离
速度最大时，人已下落的距离为$h = l_0 + l = l_0 + \frac{mg}{k}$。代入$m = 72kg$，$l_0 = 20m$，$k = 60N/m$，$g = 9.8m/s^2$，可得$h = 20 + \frac{72 \times 9.8}{60} = 31.8m$。
步骤 3：计算最大速度
由机械能守恒定律，设最大速度为$v_m$，则有$mgh = \frac{1}{2}kl^2 + \frac{1}{2}mv_m^2$。代入$m = 72kg$，$h = 31.8m$，$k = 60N/m$，$l = \frac{mg}{k}$，可得$v_m = \sqrt{\frac{2mgh}{m} - \frac{kl^2}{m}} = \sqrt{2gh - \frac{k}{m}l^2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 31.8 - \frac{60}{72} \times \left(\frac{72 \times 9.8}{60}\right)^2} = 22.5m/s$。
步骤 4：判断是否会触到水面
当人降到最下面时，动能为零。由机械能守恒定律，设蹦极带的最大伸长为$l'$，则有$mg(l_0 + l') = \frac{1}{2}kl'^2$。代入$m = 72kg$，$l_0 = 20m$，$k = 60N/m$，可得$l'^2 - 27.4l' - 549 = 0$。解此方程可得$l' = 38.1m$。此时人在跳台下的距离为$l_0 + l' = 20 + 38.1 = 58.1m < 60m$，所以人不会触及水面。
当蹦极带对人的向上拉力和他受的重力相等时，速度最大。设蹦极带的原长为$l_0$，伸长的长度为$l$，则速度最大时，有$mg = kl$。由此可得$l = \frac{mg}{k}$。
步骤 2：计算速度最大时下落的距离
速度最大时，人已下落的距离为$h = l_0 + l = l_0 + \frac{mg}{k}$。代入$m = 72kg$，$l_0 = 20m$，$k = 60N/m$，$g = 9.8m/s^2$，可得$h = 20 + \frac{72 \times 9.8}{60} = 31.8m$。
步骤 3：计算最大速度
由机械能守恒定律，设最大速度为$v_m$，则有$mgh = \frac{1}{2}kl^2 + \frac{1}{2}mv_m^2$。代入$m = 72kg$，$h = 31.8m$，$k = 60N/m$，$l = \frac{mg}{k}$，可得$v_m = \sqrt{\frac{2mgh}{m} - \frac{kl^2}{m}} = \sqrt{2gh - \frac{k}{m}l^2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 31.8 - \frac{60}{72} \times \left(\frac{72 \times 9.8}{60}\right)^2} = 22.5m/s$。
步骤 4：判断是否会触到水面
当人降到最下面时，动能为零。由机械能守恒定律，设蹦极带的最大伸长为$l'$，则有$mg(l_0 + l') = \frac{1}{2}kl'^2$。代入$m = 72kg$，$l_0 = 20m$，$k = 60N/m$，可得$l'^2 - 27.4l' - 549 = 0$。解此方程可得$l' = 38.1m$。此时人在跳台下的距离为$l_0 + l' = 20 + 38.1 = 58.1m < 60m$，所以人不会触及水面。