36 单选题 考虑总体均值的95.44%置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为10；要使得到的置信区间的半径不超过1，需要的最小样本容量为（）。A. 400B. 100C. 1600D. 900

本题考查正态总体均值的置信区间以及样本容量的计算。解题的关键在于明确正态总体均值置信区间的公式，根据置信水平确定对应的分位数，再结合置信区间半径的要求来计算所需的最小样本容量。

1. 确定置信水平对应的分位数：
   • 已知置信水平为$95.44\%$，即$1 - \alpha = 0.9544$，那么$\alpha = 1 - 0.9544 = 0.0456$，$\frac{\alpha}{2} = 0.0228$。
   • 对于正态分布，$Z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数，通过查标准正态分布表或利用常见的分位数知识可知$Z_{0.0228} = 2$。
2. 明确正态总体均值的置信区间公式：
   • 当总体服从正态分布且标准差$\sigma$已知时，总体均值$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的置信区间为$(\overline{X} - Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$，其中$\overline{X}$是样本均值，$\sigma$是总体标准差，$n$是样本容量。
   • 该置信区间的半径$R = Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
3. 根据置信区间半径的要求计算最小样本容量：
   • 已知总体标准差$\sigma = 10$，要求置信区间的半径$R\leqslant1$，即$Z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqslant1$。
   • 将$Z_{\frac{\alpha}{2}} = 2$，$\sigma = 10$代入不等式$2\times\frac{10}{\sqrt{n}}\leqslant1$。
   • 解这个不等式：
     • 首先对不等式进行变形，$\frac{20}{\sqrt{n}}\leqslant1$，两边同时乘以$\sqrt{n}$（因为$n>0$，不等号方向不变）得到$20\leqslant\sqrt{n}$。
     • 两边再同时平方，可得$n\geqslant20^2 = 400$。
   • 所以需要的最小样本容量$n = 400$。