设线性方程组 Ax = b 的增广矩阵为 (A|b)。已知 (rank)(A) = (rank)(A|b) = r A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 无法判断

本题考察线性方程组解的判定定理，核心知识点是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系对解的影响。

关键定理回顾

对于线性方程组 $Ax = b$（$A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$x$ 为 $n$ 维列向量，$b$ 为 $m$ 维列向量）：

• 若 $\text{rank}(A) < \text{rank}(A|b)$，则方程组无解（矛盾方程组）；
• 若 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b) = r$：
  • 当 $r = n$ 时，方程组有唯一解（因为未知数个数等于有效方程个数，无自由变量）；
  • 当 $r < n$ 时，方程组有无穷多解（存在 $n - r$ 个自由变量，可任意取值）。

题目条件分析

题目给出 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b) = r < n$，完全符合“秩相等且小于未知数个数”的情形，因此方程组有无穷多解。