题目

3.设随机变量X_(1),X_(2),...,X_(n)相互独立，S_(n)=X_(1)+X_(2)+...+X_(n)，则根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时，S_(n)近似服从正态分布，只要X_(1),X_(2),...,X_(n)（）。(A)有相同的数学期望； (B)服从同一指数分布；(C)有相同的方差； (D)服从同一离散型分布。<|im_end|>4.设X_(1),X_(2),...为独立同分布随机变量序列，且X_(i)(i=1,2,...)服从指数分布，其概率密度为f(x)=}lambda e^-lambda x,&x>0,lambda>1,0,&xleq0,Phi(x)为标准正态分布函数，则（）。(A）lim_(nto+infty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x);(B）lim_(nto+infty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x);(C）lim_(nto+infty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-lambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x);(D）lim_(nto+infty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-lambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x).

3.设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，$S_{n}=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}$，则根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时，$S_{n}$近似服从正态分布，只要$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$（）。 (A)有相同的数学期望； (B)服从同一指数分布； (C)有相同的方差； (D)服从同一离散型分布。 <|im_end|> 4.设$X_{1},X_{2},\cdots$为独立同分布随机变量序列，且$X_{i}(i=1,2,\cdots)$服从指数分布，其概率密度为 $$ f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x>0,\\\lambda>1,\\0,&x\leq0,\end{cases} $$ $\Phi(x)$为标准正态分布函数，则（）。 (A）$\lim_{n\to+\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\}=\Phi(x)$; (B）$\lim_{n\to+\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\}=\Phi(x)$; (C）$\lim_{n\to+\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\Phi(x)$; (D）$\lim_{n\to+\infty}P\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}-\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\leq x\}=\Phi(x)$.

题目解答

答案

问题3：
根据独立同分布中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_i$ 独立同分布且具有有限的数学期望和方差。选项中，只有 (B) 服从同一指数分布满足条件（指数分布具有有限的期望和方差）。
答案： $\boxed{B}$

问题4：
对于指数分布 $X_i \sim \text{Exp}(\lambda)$，有 $E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$，$D(X_i) = \frac{1}{\lambda^2}$。由中心极限定理，
$\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{S_n - \frac{n}{\lambda}}{\frac{\sqrt{n}}{\lambda}} \leq x\right\} = \Phi(x),$
即
$\lim_{n \to \infty} P\left\{\frac{\lambda S_n - n}{\sqrt{n}} \leq x\right\} = \Phi(x).$
选项 (D) 符合该结论。
答案： $\boxed{D}$