题目
7、设X~N(μ，σ²)，其中μ与σ²未知，证明：样本方差S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2是σ²的无偏估计量。
7、
设X~N(μ，σ²)，其中μ与σ²未知，
证明：样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$是σ²的无偏估计量。
题目解答
答案
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的样本，样本均值为 $ \overline{X} $，样本方差为 $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 $。
要证 $ S^2 $ 是 $ \sigma^2 $ 的无偏估计，即证 $ E(S^2) = \sigma^2 $。
首先，展开并化简 $ S^2 $ 的表达式：
\[
\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2
\]
取期望值：
\[
E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right] = E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right] - nE(\overline{X}^2)
\]
利用 $ E(X_i^2) = \sigma^2 + \mu^2 $ 和 $ E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 $：
\[
E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right] = n(\sigma^2 + \mu^2), \quad nE(\overline{X}^2) = n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) = \sigma^2 + n\mu^2
\]
代入得：
\[
E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 \right] = n(\sigma^2 + \mu^2) - (\sigma^2 + n\mu^2) = (n-1)\sigma^2
\]
因此：
\[
E(S^2) = \frac{1}{n-1} \cdot (n-1)\sigma^2 = \sigma^2
\]
**结论：** 样本方差 $ S^2 $ 是总体方差 $ \sigma^2 $ 的无偏估计量。
解析
步骤 1：定义样本方差
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其中 $X_i$ 是样本观测值，$\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：展开样本方差表达式
将样本方差表达式展开，得到 $S^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right)$。
步骤 3：计算期望值
计算 $E(S^2)$，即 $E\left[ \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right) \right]$。
步骤 4：利用期望值的性质
利用期望值的性质，得到 $E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right] = n(\sigma^2 + \mu^2)$ 和 $E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$。
步骤 5：代入并化简
代入 $E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right]$ 和 $E(\overline{X}^2)$ 的值，得到 $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left( n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) \right)$。
步骤 6：化简得到最终结果
化简得到 $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left( n\sigma^2 - \sigma^2 \right) = \sigma^2$。
样本方差 $S^2$ 定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，其中 $X_i$ 是样本观测值，$\overline{X}$ 是样本均值。
步骤 2：展开样本方差表达式
将样本方差表达式展开，得到 $S^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right)$。
步骤 3：计算期望值
计算 $E(S^2)$，即 $E\left[ \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\overline{X}^2 \right) \right]$。
步骤 4：利用期望值的性质
利用期望值的性质，得到 $E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right] = n(\sigma^2 + \mu^2)$ 和 $E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2$。
步骤 5：代入并化简
代入 $E\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 \right]$ 和 $E(\overline{X}^2)$ 的值，得到 $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left( n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) \right)$。
步骤 6：化简得到最终结果
化简得到 $E(S^2) = \frac{1}{n-1} \left( n\sigma^2 - \sigma^2 \right) = \sigma^2$。