设向量组 alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性无关，则下列向量组线性相关的是()A. alpha_1 + alpha_2, alpha_2 + alpha_3, alpha_3 + alpha_1B. alpha_1, alpha_1 + alpha_2, alpha_1 + alpha_2 + alpha_3C. alpha_1 + alpha_2, alpha_2 + alpha_3, alpha_3 - alpha_1D. alpha_1 + alpha_2, 2alpha_1 + alpha_3, 3alpha_3 + alpha_1

本题考查向量组线性相关性的判断。解题思路是根据向量组线性相关的定义，对于给定的向量组，设其线性组合等于零向量，然后根据已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，得到关于组合系数的方程组，通过求解方程组判断是否存在非零解，若存在非零解则向量组线性相关，若只有零解则向量组线性无关。

选项A

考虑向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1$，设其线性组合为零向量，即：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(\alpha_2 + \alpha_3) + k_3(\alpha_3 + \alpha_1) = \mathbf{0}$
将上式展开并整理可得：
$(k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = \mathbf{0}$
因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以由线性无关的定义可知，上式中 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的系数都为零，即：
$\begin{cases}k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0\end{cases}$
将第一个方程 $k_1 + k_3 = 0$ 移项得 $k_3 = -k_1$，将其代入第三个方程 $k_2 + k_3 = 0$ 中，可得 $k_2 - k_1 = 0$，即 $k_2 = k_1$。再将 $k_2 = k_1$ 代入第二个方程 $k_1 + k_2 = 0$ 中，可得 $2k_1 = 0$，解得 $k_1 = 0$。进而可得 $k_2 = 0$，$k_3 = 0$。
由于方程组只有零解，所以向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1$ 线性无关。

选项B

考虑向量组 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$，设其线性组合为零向量，即：
$k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 + \alpha_2) + k_3(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = \mathbf{0}$
将上式展开并整理可得：
$(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_1 + (k_2 + k_3)\alpha_2 + k_3\alpha_3 = \mathbf{0}$
因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以可得：
$\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \\ k_3 = 0\end{cases}$
将 $k_3 = 0$ 代入第二个方程 $k_2 + k_3 = 0$ 中，可得 $k_2 = 0$。再将 $k_2 = 0$，$k_3 = 0$ 代入第一个方程 $k_1 + k_2 + k_3 = 0$ 中，可得 $k_1 = 0$。
由于方程组只有零解，所以向量组 $\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ 线性无关。

选项C

考虑向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 - \alpha_1$，设其线性组合为零向量，即：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(\alpha_2 + \alpha_3) + k_3(\alpha_3 - \alpha_1) = \mathbf{0}$
将上式展开并整理可得：
$(k_1 - k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = \mathbf{0}$
因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以可得：
$\begin{cases}k_1 - k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0\end{cases}$
将第一个方程 $k_1 - k_3 = 0$ 移项得 $k_3 = k_1$，将其代入第三个方程 $k_2 + k_3 = 0$ 中，可得 $k_2 + k_1 = 0$，这与第二个方程相同。不妨取 $k_1 = 1$，则 $k_3 = 1$，代入 $k_1 + k_2 = 0$ 可得 $k_2 = -1$。
由于方程组存在非零解 $k_1 = 1, k_2 = -1, k_3 = 1$，所以向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 - \alpha_1$ 线性相关。

选项D

考虑向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, 2\alpha_1 + \alpha_3, 3\alpha_3 + \alpha_1$，设其线性组合为零向量，即：
$k_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(2\alpha_1 + \alpha_3) + k_3(3\alpha_3 + \alpha_1) = \mathbf{0}$
将上式展开并整理可得：
$(k_1 + 2k_2 + k_3)\alpha_1 + k_1\alpha_2 + (k_2 + 3k_3)\alpha_3 = \mathbf{0}$
因为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，所以可得：
$\begin{cases}k_1 + 2k_2 + k_3 = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 + 3k_3 = 0\end{cases}$
将 $k_1 = 0$ 代入第一个方程 $k_1 + 2k_2 + k_3 = 0$ 中，可得 $2k_2 + k_3 = 0$。用 $2k_2 + k_3 = 0$ 减去 $k_2 + 3k_3 = 0$ 可得：
$2k_2 + k_3 - (k_2 + 3k_3) = 0 - 0$
$2k_2 + k_3 - k_2 - 3k_3 = 0$
$k_2 - 2k_3 = 0$
即 $k_2 = 2k_3$。将 $k_2 = 2k_3$ 代入 $k_2 + 3k_3 = 0$ 中，可得 $2k_3 + 3k_3 = 0$，即 $5k_3 = 0$，解得 $k_3 = 0$。进而可得 $k_2 = 0$，$k_1 = 0$。
由于方程组只有零解，所以向量组 $\alpha_1 + \alpha_2, 2\alpha_1 + \alpha_3, 3\alpha_3 + \alpha_1$ 线性无关。