设 X sim B(1, p)，对 X 进行观测，得到样本值 0, 1, 0, 1, 1。则 p 的最大似然估计值是（ ）。A. 0.3B. 0.6C. 1D. 0.8

本题考查二项分布的最大似然估计知识点。解题思路是先根据二项分布的概率质量函数写出似然函数，再对似然函数取对数，然后求对数似然函数关于参数 $p$ 的导数，令导数为 0，最后解出 $p$ 的值，此值即为 $p$ 的最大似然估计值。

步骤一：明确二项分布的概率质量函数

已知 $X \sim B(1, p)$，其概率质量函数为 $P(X = x) = p^x(1 - p)^{1 - x}$，其中 $x = 0$ 或 $1$。

步骤二：写出似然函数 $L(p)$

似然函数是样本取值的联合概率分布，对于样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，似然函数 $L(p)=\prod_{i = 1}^{n}P(X = x_i)$。
已知样本值为 $0, 1, 0, 1, 1$，即 $n = 5$，$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，$x_3 = 0$，$x_4 = 1$，$x_5 = 1$，则：
$L(p)=P(X = 0)P(X = 1)P(X = 0)P(X = 1)P(X = 1)$
$=p^0(1 - p)^{1 - 0} \cdot p^1(1 - p)^{1 - 1} \cdot p^0(1 - p)^{1 - 0} \cdot p^1(1 - p)^{1 - 1} \cdot p^1(1 - p)^{1 - 1}$
$=(1 - p) \cdot p \cdot (1 - p) \cdot p \cdot p$
$=p^3(1 - p)^2$

步骤三：对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(p)$

$\ln L(p)=\ln(p^3(1 - p)^2)$
根据对数运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得：
$\ln L(p)=\ln p^3+\ln(1 - p)^2$
再根据对数运算法则 $\ln a^b = b\ln a$，进一步化简为：
$\ln L(p)=3\ln p + 2\ln(1 - p)$

步骤四：求对数似然函数关于 $p$ 的导数，并令其为 0

对 $\ln L(p)$ 求导：
$\frac{d\ln L(p)}{dp}=\frac{3}{p}-\frac{2}{1 - p}$
令 $\frac{d\ln L(p)}{dp}=0$，即：
$\frac{3}{p}-\frac{2}{1 - p}=0$
通分得到：
$\frac{3(1 - p)}{p(1 - p)}-\frac{2p}{p(1 - p)}=0$
$\frac{3 - 3p - 2p}{p(1 - p)}=0$
$\frac{3 - 5p}{p(1 - p)}=0$
因为分母不能为 0，所以分子 $3 - 5p = 0$，解得 $p = 0.6$。

步骤五：验证 $p = 0.6$ 是最大值点

对 $\frac{d\ln L(p)}{dp}$ 再次求导：
$\frac{d^2\ln L(p)}{dp^2}=-\frac{3}{p^2}-\frac{2}{(1 - p)^2}$
当 $p = 0.6$ 时，$\frac{d^2\ln L(p)}{dp^2}<0$，说明对数似然函数在 $p = 0.6$ 处取得最大值，所以 $p$ 的最大似然估计值为 $0.6$。