1.计算下列极限:-|||-(8) lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2+x}({x)^4-3(x)^2+1};

考查要点：本题主要考查多项式分式在无穷远处的极限的求解方法，核心思路是通过比较分子和分母的最高次数来判断极限值。

关键思路：
当$x \rightarrow \infty$时，分式中最高次项的次数差决定极限结果：

• 若分母的最高次数高于分子，则极限为$0$；
• 若分子和分母的最高次数相等，则极限为最高次项系数之比；
• 若分子的最高次数高于分母，则极限为$\infty$或$-\infty$。

破题关键：
本题分子最高次为$x^2$，分母为$x^4$，分母次数更高，因此极限为$0$。

步骤1：确定分子和分母的最高次数

• 分子：$x^2 + x$，最高次项为$x^2$，次数为$2$；
• 分母：$x^4 - 3x^2 + 1$，最高次项为$x^4$，次数为$4$。

步骤2：比较次数差
分母次数（$4$）高于分子次数（$2$），次数差为$4 - 2 = 2$，因此极限为$0$。

步骤3：严谨推导（可选）
将分子和分母同时除以分母的最高次项$x^4$：
$\frac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1} = \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}}.$
当$x \rightarrow \infty$时，分子中的$\frac{1}{x^2}$和$\frac{1}{x^3}$均趋向于$0$，分母趋向于$1$，因此极限为$\frac{0}{1} = 0$。