题目
若approx N(2,(sigma )^2)，且P(X < 0)=0.1，则P( 2<X< 4)= ( ) A.0.1 B.0.4 C.0.5D.0.6
若
，且P(X < 0)=0.1，则P( 2<X< 4)= ( )
A.0.1
B.0.4
C.0.5
D.0.6
题目解答
答案
∵若
∴
∵P(X < 0)=0.1
∴
则
∴
即选项B正确.
解析
步骤 1：标准化正态分布
由于$X\sim N(2,{\sigma }^{2})$，我们首先将$X$标准化，即转换为标准正态分布$Z$。标准化公式为$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu=2$是均值，$\sigma$是标准差。因此，$Z=\dfrac{X-2}{\sigma}$。
步骤 2：计算P(X < 0)
根据题目，$P(X < 0)=0.1$。将$X=0$代入标准化公式，得到$Z=\dfrac{0-2}{\sigma}=-\dfrac{2}{\sigma}$。因此，$P(Z < -\dfrac{2}{\sigma})=0.1$。由于标准正态分布的对称性，$P(Z > \dfrac{2}{\sigma})=0.1$，从而$P(Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9$。
步骤 3：计算P(2 < X < 4)
我们需要计算$P(2 < X < 4)$。将$X=2$和$X=4$代入标准化公式，得到$Z=\dfrac{2-2}{\sigma}=0$和$Z=\dfrac{4-2}{\sigma}=\dfrac{2}{\sigma}$。因此，$P(2 < X < 4)=P(0 < Z < \dfrac{2}{\sigma})$。根据步骤2，$P(Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9$，而$P(Z < 0)=0.5$（因为$Z$的均值为0），所以$P(0 < Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9-0.5=0.4$。
由于$X\sim N(2,{\sigma }^{2})$，我们首先将$X$标准化，即转换为标准正态分布$Z$。标准化公式为$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$，其中$\mu=2$是均值，$\sigma$是标准差。因此，$Z=\dfrac{X-2}{\sigma}$。
步骤 2：计算P(X < 0)
根据题目，$P(X < 0)=0.1$。将$X=0$代入标准化公式，得到$Z=\dfrac{0-2}{\sigma}=-\dfrac{2}{\sigma}$。因此，$P(Z < -\dfrac{2}{\sigma})=0.1$。由于标准正态分布的对称性，$P(Z > \dfrac{2}{\sigma})=0.1$，从而$P(Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9$。
步骤 3：计算P(2 < X < 4)
我们需要计算$P(2 < X < 4)$。将$X=2$和$X=4$代入标准化公式，得到$Z=\dfrac{2-2}{\sigma}=0$和$Z=\dfrac{4-2}{\sigma}=\dfrac{2}{\sigma}$。因此，$P(2 < X < 4)=P(0 < Z < \dfrac{2}{\sigma})$。根据步骤2，$P(Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9$，而$P(Z < 0)=0.5$（因为$Z$的均值为0），所以$P(0 < Z < \dfrac{2}{\sigma})=0.9-0.5=0.4$。