若approx N(2,(sigma )^2)，且P(X < 0)=0.1，则P( 2<X< 4)= ( ) A.0.1 B.0.4 C.0.5D.0.6

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布的性质。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将给定的正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布表求解。
2. 对称性应用：通过已知条件确定关键分位点，结合标准正态分布的累积概率计算目标区间的概率。

破题关键点：

• 标准化公式：$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，将$X \sim N(2, \sigma^2)$转化为$Z \sim N(0,1)$。
• 利用已知概率求分位点：由$P(X < 0) = 0.1$确定$\dfrac{2}{\sigma}$对应的分位数。
• 区间概率拆分：将$P(2 < X < 4)$转化为标准正态分布下的区间概率，利用$\Phi(\cdot)$函数计算。

步骤1：标准化处理

由$X \sim N(2, \sigma^2)$，标准化得：
$Z = \dfrac{X - 2}{\sigma} \sim N(0,1)$

步骤2：利用已知条件求分位点

已知$P(X < 0) = 0.1$，标准化后：
$P\left(Z < \dfrac{0 - 2}{\sigma}\right) = P\left(Z < -\dfrac{2}{\sigma}\right) = 0.1$
根据标准正态分布表，$\Phi(-1.28) \approx 0.1$，因此：
$-\dfrac{2}{\sigma} = -1.28 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{2}{\sigma} = 1.28$

步骤3：计算目标区间概率

求$P(2 < X < 4)$，标准化后：
$P\left(0 < Z < \dfrac{4 - 2}{\sigma}\right) = P(0 < Z < 1.28)$
根据标准正态分布的性质：
$P(0 < Z < 1.28) = \Phi(1.28) - \Phi(0) = 0.9 - 0.5 = 0.4$