题目

12.设overline(x)_(1)与overline(x)_(2)是从同一正态总体N(mu,sigma^2)独立抽取的容量相同的两个样本均值.试确定样本容量n，使得两样本均值的差超过σ的概率不超过0.01.

12.设$\overline{x}_{1}$与$\overline{x}_{2}$是从同一正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$独立抽取的容量相同的两个样本均值.试确定样本容量n，使得两样本均值的差超过σ的概率不超过0.01.

题目解答

答案

设 $\bar{x}_1$ 和 $\bar{x}_2$ 为从正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 中独立抽取的样本均值，样本容量为 $n$。则 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \sim N(0, \frac{2\sigma^2}{n})$。
欲使 $P(|\bar{x}_1 - \bar{x}_2| > \sigma) \leq 0.01$，即
$P\left(|Z| > \sqrt{\frac{n}{2}}\right) \leq 0.01,$
其中 $Z \sim N(0,1)$。
由标准正态分布表，$P(Z > 2.575) \approx 0.005$，故
$\sqrt{\frac{n}{2}} \geq 2.575 \quad \Rightarrow \quad n \geq 2.575^2 \times 2 \approx 13.26125.$
取整数得 $n \geq 14$。

答案： $\boxed{14}$

解析

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先根据正态总体样本均值的性质确定两样本均值差的分布，再将其标准化，最后利用标准正态分布表来求解样本容量 $n$。

  1. 确定两样本均值差的分布：
    • 已知$\overline{x}_{1}$与$\overline{x}_{2}$是从同一正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$独立抽取的容量相同（设为$n$）的两个样本均值。
    • 根据正态分布的性质，若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 - X_2\sim N(\mu_1 - \mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。
    • 对于样本均值$\overline{x}_{1}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，$\overline{x}_{2}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，所以$\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}\sim N(\mu - \mu,\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{\sigma^{2}}{n})$，即$\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}\sim N(0,\frac{2\sigma^{2}}{n})$。
  2. 对两样本均值差进行标准化：
    • 设$Z = \frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}-0}{\sqrt{\frac{2\sigma^{2}}{n}}}=\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\sqrt{\frac{2\sigma^{2}}{n}}}\sim N(0,1)$。
    • 已知$P(|\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}|\gt{}\sigma)\leq0.01$，将不等式两边同时除以$\sqrt{\frac{2\sigma^{2}}{n}}$，可得$P\left(\left|\frac{\overline{x}_{1}-\overline{x}_{2}}{\sqrt{\frac{2\sigma^{2}}{n}}}\right|\gt{}\frac{\sigma}{\sqrt{\frac{2\sigma^{2}}{n}}}\right)\leq0.01$，即$P\left(|Z|\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)\leq0.01$。
  3. 利用标准正态分布表求解$n$：
    • 因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P\left(|Z|\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)=2P\left(Z\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)$。
    • 由$P\left(|Z|\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)\leq0.01$，可得$2P\left(Z\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)\leq0.01$，即$P\left(Z\gt{}\sqrt{\frac{n}{2}}\right)\leq0.005$。
    • 查标准正态分布表，可得$P(Z \gt 2.575) \approx 0.005$。
    • 所以$\sqrt{\frac{n}{2}}\geq2.575$。
    • 两边同时平方可得$\frac{n}{2}\geq2.575^2$，则$n\geq2.575^2\times2$。
    • 计算$2.575^2\times2 = 6.630625\times2=13.26125$。
    • 由于样本容量$n$为整数，所以$n\geq14$。