51、将一枚硬币重复投掷n次，用X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X和Y的相关系数等于（）。A. 0.5B. 1C. -1D. 0

本题考查知识点为随机变量变量的相关系数的计算，解题思路是先明确$X$与$Y$的关系，再根据相关系数的定义和性质来来求解。

步骤一：分析$X$与$Y$的关系

已知将一枚硬币重复投掷$n$次，用$X$表示正面朝上的次数，$Y$表示反面朝上的次数。因为每次投掷结果要么是正面朝上，要么是反面朝上，所以正面朝上的次数与反面朝上的次数之和等于投掷的总次数$n$次，即$X + Y = n$，移项可得$Y = n - X$。

步骤二：根据相关系数的定义计算$\rho_{XY}$

相关系数$\rho_{XY}$的计算公式为$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，其中$Cov(X,Y)$是$X$与$Y$的协方差，$D(X)$是$X$的方差，$D(Y)$是$Y$的方差。

• 计算$Cov(X,Y)$：
  根据协方差的性质$Cov(X,Y)=Cov(X,n - X)$，由协方差的性质$Cov(aX + b,cY + d)=acCov(X,Y)$（$a,b,c,d$为常数）可得$Cov(X,n - X)=Cov(X,-X)$，再根据$Cov(X,aY)=aCov(X,Y)$（$a$为常数）可得$Cov(X,-X)= -Cov(X,X)$，而$Cov(X,X)=D(X)$，所以$Cov(X,Y)= -D(X)$。
• 计算$D(Y)$：
  因为$Y = n - X$，根据方差的性质$D(aX + b)=a^2D(X)$（$a,b$为常数）可得$D(Y)=D(n - X)=(-1)^2D(X)=D(X)$。
• 计算$\rho_{XY}$：
  将$Cov(X,Y)= -D(X)$和$D(Y)=D(X)$代入相关系数公式$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$可得：
  $\rho_{XY}=\frac{-D(X)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(X)}}=\frac{-D(X)}{D(X)}=-1$