题目
某工厂生产的电阻阻值（单位：Omega）服从正态分布 X sim N(100, 1)，阻值在 98Omega sim 102Omega 范围内的电阻为合格品。求随机抽取一个电阻，该电阻为合格品的概率（结果保留4位小数）。（已知 Phi(1) = 0.8413, Phi(2) = 0.9772, Phi(3) = 0.9987）
某工厂生产的电阻阻值（单位：$\Omega$）服从正态分布 $X \sim N(100, 1)$，阻值在 $98\Omega \sim 102\Omega$ 范围内的电阻为合格品。求随机抽取一个电阻，该电阻为合格品的概率（结果保留4位小数）。（已知 $\Phi(1) = 0.8413$, $\Phi(2) = 0.9772$, $\Phi(3) = 0.9987$）
题目解答
答案
根据题意，电阻阻值 $X$ 服从正态分布 $X \sim N(100, 1)$。
这意味着该正态分布的均值 $\mu = 100$，方差 $\sigma^2 = 1$，因此标准差 $\sigma = \sqrt{1} = 1$。
题目要求计算阻值在 $98\Omega \sim 102\Omega$ 范围内的电阻为合格品的概率，即求 $P(98 \le X \le 102)$。
为了利用给定的标准正态分布函数值 $\Phi(x)$，我们需要将随机变量 $X$ 标准化。
令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
将区间端点 $98$ 和 $102$ 转化为标准正态变量 $Z$ 的值：
当 $X = 98$ 时，$Z_1 = \frac{98 - 100}{1} = -2$
当 $X = 102$ 时，$Z_2 = \frac{102 - 100}{1} = 2$
因此，所求概率可以转化为：
$P(98 \le X \le 102) = P(-2 \le Z \le 2)$
根据标准正态分布的累积分布函数 $\Phi(x)$ 的性质，该概率可以表示为：
$P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)$
利用标准正态分布的对称性，$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$，所以：
$\Phi(-2) = 1 - \Phi(2)$
代入上式得：
$P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - (1 - \Phi(2)) = 2\Phi(2) - 1$
已知 $\Phi(2) = 0.9772$，将其代入计算：
$P(98 \le X \le 102) = 2 \times 0.9772 - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544$
随机抽取一个电阻，该电阻为合格品的概率为 $0.9544$。