题目

随机抽取26名男生和26名女生进行数理能力测-|||-试,测试结果为男生平均成绩92,标准差5;女生-|||-平均成绩88,标准差5;经检验两总体方差齐性。-|||-请回答以下问题:-|||-(1)列出假设检验的基本步骤;-|||-(2)根据本次测试结果和附表,分析男生的数理-|||-能力是否高于女生?-|||-(3)针对(2)中的问题,是否可以使用Z检验?为-|||-什么?-|||-附表:t值表随机抽取26名男生和26名女生进行数理能力测-|||-试,测试结果为男生平均成绩92,标准差5;女生-|||-平均成绩88,标准差5;经检验两总体方差齐性。-|||-请回答以下问题:-|||-(1)列出假设检验的基本步骤;-|||-(2)根据本次测试结果和附表,分析男生的数理-|||-能力是否高于女生?-|||-(3)针对(2)中的问题,是否可以使用Z检验?为-|||-什么?-|||-附表:t值表

$\begin {aligned} &随机抽取26名男生和26名女生进行数理能力测\\&试,测试结果为男生平均成绩92,标准差5;女生\\&平均成绩88,标准差5;经检验两总体方差齐性。\\&请回答以下问题:\\ &(1)列出假设检验的基本步骤;\\ &(2)根据本次测试结果和附表,分析男生的数理\\&能力是否高于女生？\\ &(3)针对(2)中的问题,是否可以使用Z检验？为\\&什么？\\ &附表:t值表 \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &(1) 假设检验的基本步骤： \\ &1. 提出假设： \\ & 原假设 H_0 ：男生的数理能力不高于女生，即\\& \mu_1 \leqslant \mu_2 。 \\ & 备择假设 H_1 ：男生的数理能力高于女生，即\\& \mu_1 > \mu_2 。 \\ &2. 选择检验方法和显著性水平： \\ & 选择t检验进行假设检验。 \\ & 显著性水平 \alpha = 0.05 （单侧检验）。 \\ &3. 计算检验统计量： \\ & t = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \\ & 其中， \bar{X_1} = 92 ， S_1 = 5 ， n_1 = 26 ； \bar{X_2} = 88 ，\\& S_2 = 5 ， n_2 = 26 。 \end {aligned}$ $\begin {aligned} &4. 查t分布表，确定临界值： \\ & 根据自由度 df = n_1 + n_2 - 2 = 26 + 26 - 2 = 5\\&0 ，查附表的t值，单侧检验 \alpha = 0.05 。 \\ &5. 作出决策： \\ & 如果 t 值大于临界值，拒绝原假设，认为男生\\&的数理能力显著高于女生。 \\ & 如果 t 值小于临界值，则无法拒绝原假设。 \\ &(2) 分析男生的数理能力是否高于女生： \\ &先计算t值： \\ &t = \frac{92 - 88}{\sqrt{\frac{5^2}{26} + \frac{5^2}{26}}} \\ & = \frac{4}{\sqrt{\frac{25}{26} + \frac{25}{26}}} \\ & = \frac{4}{\sqrt{\frac{50}{26}}} \\ & = \frac{4}{\sqrt{1.923}} \end {aligned}$ $\begin {aligned} & = \frac{4}{1.387} \\ & \approx 2.884 \\ &查自由度 df = 50 时，单侧检验 \alpha = 0.05 的t值，\\&表中 t_{0.05} = 1.676 。 \\ &由于计算得到的 t 值 2.884 大于 1.676，因此拒\\&绝原假设，认为男生的数理能力显著高于女生\\&。 \\ &(3) 是否可以使用Z检验？为什么？ \\ &在本次问题中不适合使用Z检验。原因如下： \\ & Z检验通常用于样本量较大（例如 n > 30 ）时\\&，或者已知总体标准差的情况下使用。而本题\\&样本量较小（ n = 26 ），且未提供总体标准差\\&，只给出了样本标准差。因此更合适使用t检\\&验。 \end {aligned}$