下列随机变量中，（）服从自由度为n-1的t分布.A. t=(overline(X)-mu)/(S_(1)/sqrt(n-1))B. t=(overline(X)-mu)/(S_(2)/sqrt(n-1))C. t=(overline(X)-mu)/(S_(3)/sqrt(n))D. t=(overline(X)-mu)/(S_(4)/sqrt(n))

本题考查t分布的定义及相关公式，解题的关键在于明确t分布的标准形式，并将各选项与标准形式进行对比。

t分布的定义

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本，$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，即$S = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X})^2}$。
已知$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$，$T=\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$，且$Z$与$T$相互独立，则随机变量$t=\frac{Z}{\sqrt{T/(n - 1)}}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$服从自由度为$n - 1$的$t$分布。

对各选项进行分析

• 选项A：$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_{1}/\sqrt{n - 1}}$，与$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$对比，分母中根号下的分母为$n - 1$，不符合t分布的标准形式，所以该选项错误。
• 选项B：$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_{2}/\sqrt{n - 1}}$，同样分母中根号下的分母为$n - 1$，不符合t分布的标准形式，所以该选项错误。
• 选项C：$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_{3}/\sqrt{n}}$，与$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$形式一致，符合自由度为$n - 1$的$t$分布的定义，所以该选项正确。
• 选项D：$t=\frac{\overline{X}-\mu}{S_{4}/\sqrt{n}}$，虽然形式上与标准形式相似，但这里的$S_4$未明确其是否为样本标准差，而t分布要求使用样本标准差$S$，所以该选项错误。