题目
10.设总体 sim N(mu ,(sigma )^2) ,X1,X2,X3是来自X的样本,则当 a= __ _时, mu =dfrac (1)(7)(X)_(1)+a(X)_(2)-|||-.+dfrac (4)(7)(X)_(3) 是未知参数μ的无偏估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解无偏估计的概念
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于参数μ的无偏估计，需要满足E(μ̂) = μ，其中μ̂是μ的估计量。
步骤 2：计算估计量的期望值
根据题目，估计量为 $\mu =\dfrac {1}{7}{X}_{1}+a{X}_{2}+\dfrac {4}{7}{X}_{3}$。由于X1, X2, X3是来自总体X的样本，且X~N(μ, σ^2)，所以E(X1) = E(X2) = E(X3) = μ。因此，估计量的期望值为：
E(μ̂) = E($\dfrac {1}{7}{X}_{1}+a{X}_{2}+\dfrac {4}{7}{X}_{3}$) = $\dfrac {1}{7}E({X}_{1})+aE({X}_{2})+\dfrac {4}{7}E({X}_{3})$ = $\dfrac {1}{7}\mu+a\mu+\dfrac {4}{7}\mu$ = $(\dfrac {1}{7}+a+\dfrac {4}{7})\mu$ = $(\dfrac {5}{7}+a)\mu$。
步骤 3：确定a的值
为了使估计量成为μ的无偏估计，需要满足E(μ̂) = μ，即$(\dfrac {5}{7}+a)\mu = \mu$。因此，$\dfrac {5}{7}+a = 1$，解得$a = \dfrac {2}{7}$。
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于参数μ的无偏估计，需要满足E(μ̂) = μ，其中μ̂是μ的估计量。
步骤 2：计算估计量的期望值
根据题目，估计量为 $\mu =\dfrac {1}{7}{X}_{1}+a{X}_{2}+\dfrac {4}{7}{X}_{3}$。由于X1, X2, X3是来自总体X的样本，且X~N(μ, σ^2)，所以E(X1) = E(X2) = E(X3) = μ。因此，估计量的期望值为：
E(μ̂) = E($\dfrac {1}{7}{X}_{1}+a{X}_{2}+\dfrac {4}{7}{X}_{3}$) = $\dfrac {1}{7}E({X}_{1})+aE({X}_{2})+\dfrac {4}{7}E({X}_{3})$ = $\dfrac {1}{7}\mu+a\mu+\dfrac {4}{7}\mu$ = $(\dfrac {1}{7}+a+\dfrac {4}{7})\mu$ = $(\dfrac {5}{7}+a)\mu$。
步骤 3：确定a的值
为了使估计量成为μ的无偏估计，需要满足E(μ̂) = μ，即$(\dfrac {5}{7}+a)\mu = \mu$。因此，$\dfrac {5}{7}+a = 1$，解得$a = \dfrac {2}{7}$。