题目
3.设总体 sim V(1,4) x1.X2···,x100是来自总体X的一个样本,X是样本均值。-|||-已知 =aoverline (X)+bsim N(0,1) ,则......-|||-A (A ) =-5, =b=5 . 或. =5, ,b=-5 --|||-B (B) =5, b=5 --|||-C .(C) =dfrac (1)(5) =-dfrac (1)(5) --|||-D (D ). =-dfrac (1)(5) =dfrac (1)(5) H
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解总体分布和样本均值的分布
总体 $X$ 服从正态分布 $N(1,4)$，即均值为1，方差为4。样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2/n)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。因此，$\overline{X}$ 服从 $N(1, 4/100)$，即 $N(1, 0.04)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了使 $Z = a\overline{X} + b$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，我们需要标准化样本均值 $\overline{X}$。标准化公式为 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。将 $\mu = 1$ 和 $\sigma^2 = 4$ 代入，得到 $Z = \frac{\overline{X} - 1}{0.2}$。因此，$Z = 5\overline{X} - 5$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：确定 $a$ 和 $b$ 的值
由于 $Z = a\overline{X} + b$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，根据步骤 2 的结果，$a = 5$ 和 $b = -5$。同时，由于正态分布的对称性，$Z = -5\overline{X} + 5$ 也服从标准正态分布 $N(0,1)$，因此 $a = -5$ 和 $b = 5$ 也是正确的。
总体 $X$ 服从正态分布 $N(1,4)$，即均值为1，方差为4。样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2/n)$，其中 $\mu$ 是总体均值，$\sigma^2$ 是总体方差，$n$ 是样本容量。因此，$\overline{X}$ 服从 $N(1, 4/100)$，即 $N(1, 0.04)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了使 $Z = a\overline{X} + b$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，我们需要标准化样本均值 $\overline{X}$。标准化公式为 $Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$。将 $\mu = 1$ 和 $\sigma^2 = 4$ 代入，得到 $Z = \frac{\overline{X} - 1}{0.2}$。因此，$Z = 5\overline{X} - 5$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 3：确定 $a$ 和 $b$ 的值
由于 $Z = a\overline{X} + b$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，根据步骤 2 的结果，$a = 5$ 和 $b = -5$。同时，由于正态分布的对称性，$Z = -5\overline{X} + 5$ 也服从标准正态分布 $N(0,1)$，因此 $a = -5$ 和 $b = 5$ 也是正确的。