第二个重要极限lim _(x arrow infty)((x^2+1)/(x^2)-1)^2 x^(2)A. e^4B. 1C. e^2D. 不存在

本题考查第二个重要极限$\lim\limits_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用。解题思路是先对原式进行变形，使其符合第二个重要极限的形式，然后再利用极限的运算法则进行计算。

1. 对原式$\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1})^{2x^2}$进行变形：
   • 先将$\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$变形为$\frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1}=1+\frac{2}{x^2 - 1}$，则原式变为$\lim\limits_{x \to \infty}(1 + \frac{2}{x^2 - 1})^{2x^2}$。
2. 设$t = x^2 - 1$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$，且$x^2=t + 1$，则原式可化为：
   • $\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2(t + 1)}$。
3. 根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，将$(1 + \frac{2}{t})^{2(t + 1)}$展开为$(1 + \frac{2}{t})^{2t}\times(1 + \frac{2}{t})^2$，则原式变为：
   • $\lim\limits_{t \to \infty}[(1 + \frac{2}{t})^{2t}\times(1 + \frac{2}{t})^2]$。
4. 根据极限的乘法运算法则$\lim\limits_{x \to a}[f(x)\times g(x)]=\lim\limits_{x \to a}f(x)\times\lim\limits_{x \to a}g(x)$，可得：
   • $\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2t}\times\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^2$。
5. 计算$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^2$：
   • 当$t \to \infty$时，$\frac{2}{t} \to 0$，所以$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^2=(1 + 0)^2 = 1$。
6. 计算$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2t}$：
   • 令$u=\frac{t}{2}$，当$t \to \infty$时，$u \to \infty$，且$t = 2u$，则$(1 + \frac{2}{t})^{2t}=(1 + \frac{1}{u})^{4u}$。
   • 根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(1 + \frac{1}{u})^{4u}=[(1 + \frac{1}{u})^u]^4$。
   • 由第二个重要极限$\lim\limits_{u \to \infty}(1 + \frac{1}{u})^u = e$，可得$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2t}=\lim\limits_{u \to \infty}[(1 + \frac{1}{u})^u]^4=e^4$。
7. 将$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2t}=e^4$和$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^2 = 1$代入$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^{2t}\times\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{t})^2$，可得：
   • $e^4\times1 = e^4$。