题目
24.设x_(1),x_(2),...,x_(16)是来自N(8,4)的样本，试求下列概率：(1)P(x_(16)>10);(2)P(x_(11)>5).
24.设$x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$是来自N(8,4)的样本，试求下列概率：
(1)$P(x_{16}>10)$;
(2)$P(x_{11}>5)$.
题目解答
答案
(1) **计算 $P(x_{(16)} > 10)$**
$x_{(16)}$ 为最大值，
$P(x_{(16)} \leq 10) = [P(x_1 \leq 10)]^{16}$，
标准化得 $Z = \frac{10-8}{2} = 1$，
$P(x_1 \leq 10) = \Phi(1) \approx 0.8413$，
故 $P(x_{(16)} \leq 10) \approx (0.8413)^{16} \approx 0.0630$，
因此 $P(x_{(16)} > 10) \approx 1 - 0.0630 = 0.9370$。
(2) **计算 $P(x_{(1)} > 5)$**
$x_{(1)}$ 为最小值，
$P(x_{(1)} > 5) = [P(x_1 > 5)]^{16}$，
标准化得 $Z = \frac{5-8}{2} = -1.5$，
$P(x_1 > 5) = 1 - \Phi(-1.5) = \Phi(1.5) \approx 0.9332$，
故 $P(x_{(1)} > 5) \approx (0.9332)^{16} \approx 0.2657$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
(1) 0.9370 \\
(2) 0.2657
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布样本极值的概率计算，涉及最大值和最小值的分布函数的应用。
解题核心思路：
- 最大值的概率：$P(x_{(16)} > a) = 1 - [P(x_1 \leq a)]^{16}$，即所有样本均不超过$a$的补集。
- 最小值的概率：$P(x_{(1)} > a) = [P(x_1 > a)]^{16}$，即所有样本均超过$a$的概率。
破题关键点：
- 标准化转换：将正态变量转换为标准正态变量$Z$，利用标准正态分布函数$\Phi(Z)$计算概率。
- 指数运算：注意样本容量为16时，概率的16次方对结果的影响。
第（1）题：$P(x_{(16)} > 10)$
步骤1：最大值的分布函数
最大值$x_{(16)}$不超过10的概率为：
$P(x_{(16)} \leq 10) = [P(x_1 \leq 10)]^{16}$
步骤2：标准化计算
$x_1 \sim N(8, 4)$，标准化得：
$Z = \frac{10 - 8}{2} = 1$
查标准正态分布表得：
$P(x_1 \leq 10) = \Phi(1) \approx 0.8413$
步骤3：计算概率
$P(x_{(16)} \leq 10) \approx (0.8413)^{16} \approx 0.0630$
因此：
$P(x_{(16)} > 10) = 1 - 0.0630 = 0.9370$
第（2）题：$P(x_{(1)} > 5)$
步骤1：最小值的分布函数
最小值$x_{(1)}$超过5的概率为：
$P(x_{(1)} > 5) = [P(x_1 > 5)]^{16}$
步骤2：标准化计算
标准化得：
$Z = \frac{5 - 8}{2} = -1.5$
查标准正态分布表得：
$P(x_1 > 5) = 1 - \Phi(-1.5) = \Phi(1.5) \approx 0.9332$
步骤3：计算概率
$P(x_{(1)} > 5) \approx (0.9332)^{16} \approx 0.2657$