题目

三、设总体Xsim N(0,4)，X_(1),X_(2),...,X_(10)是X的样本，求Psum X_{i)^2leq12.988}.

三、设总体$X\sim N(0,4)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10}$是X的样本，求$P\{\sum X_{i}^{2}\leq12.988\}$.

题目解答

答案

为了求解 $ P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \leq 12.988\right\} $，我们首先需要确定随机变量 $ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 $ 的分布。已知 $ X \sim N(0,4) $，即 $ X_i \sim N(0,4) $ 对于 $ i = 1, 2, \ldots, 10 $。 我们可以通过标准化 $ X_i $ 来简化问题。令 $ Y_i = \frac{X_i}{2} $。由于 $ X_i \sim N(0,4) $，因此 $ Y_i \sim N(0,1) $。现在，我们有： \[ X_i^2 = (2Y_i)^2 = 4Y_i^2. \] 因此， \[ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 = \sum_{i=1}^{10} 4Y_i^2 = 4 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2. \] 由于 $ Y_i \sim N(0,1) $，所以 $ Y_i^2 \sim \chi^2(1) $。因此， $ \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \sim \chi^2(10) $。于是，我们有： \[ \sum_{i=1}^{10} X_i^2 \sim 4\chi^2(10). \] 我们需要求解： \[ P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2 \leq 12.988\right\} = P\left\{4 \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \leq 12.988\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \leq \frac{12.988}{4}\right\} = P\left\{\sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \leq 3.247\right\}. \] 由于 $ \sum_{i=1}^{10} Y_i^2 \sim \chi^2(10) $，我们需要找到 $ \chi^2 $ 分布的累积分布函数在 3.247 处的值，自由度为 10。使用 $ \chi^2 $ 分布表或统计软件，我们发现： \[ P\left\{\chi^2(10) \leq 3.247\right\} \approx 0.01. \] 因此，答案是： \[ \boxed{0.01}. \]

解析

本题考查正态分布、卡方分布的性质以及概率的计算。解题的关键思路是先将总体的正态分布进行标准化，再根据卡方分布的定义确定随机变量的分布，最后通过查卡方分布表或使用统计软件计算相应的概率。

  1. 确定$X_i$的分布并进行标准化：
    已知总体$X\sim N(0,4)$，那么样本$X_{1},X_{2},\cdots,X_{10}$中的每一个$X_i$都服从$N(0,4)$分布，即$X_i\sim N(0,4)$，$i = 1, 2, \ldots, 10$。
    为了便于后续计算，我们对$X_i$进行标准化，令$Y_i = \frac{X_i}{2}$。根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$，在这里$\mu = 0$，$\sigma = 2$，所以$Y_i\sim N(0,1)$。
  2. 将$\sum_{i = 1}^{10}X_i^2$转化为与$Y_i$相关的形式：
    由$Y_i = \frac{X_i}{2}$可得$X_i = 2Y_i$，那么$X_i^2 = (2Y_i)^2 = 4Y_i^2$。
    所以$\sum_{i = 1}^{10}X_i^2 = \sum_{i = 1}^{10}4Y_i^2 = 4\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2$。
  3. 确定$\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2$的分布：
    因为$Y_i\sim N(0,1)$，根据卡方分布的定义，若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Z_i^2\sim\chi^2(n)$，这里$n = 10$，所以$\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\sim\chi^2(10)$。
    进而$\sum_{i = 1}^{10}X_i^2 = 4\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\sim 4\chi^2(10)$。
  4. 计算概率$P\{\sum_{i = 1}^{10}X_i^2\leq 12.988\}$：
    $\begin{align*}P\{\sum_{i = 1}^{10}X_i^2\leq 12.988\}&=P\{4\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\leq 12.988\}\\&=P\{\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\leq \frac{12.988}{4}\}\\&=P\{\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\leq 3.247\}\end{align*}$
    由于$\sum_{i = 1}^{10}Y_i^2\sim\chi^2(10)$，我们需要查找自由度为$10$的卡方分布表或使用统计软件来计算$P\{\chi^2(10)\leq 3.247\}$，得到$P\{\chi^2(10)\leq 3.247\}\approx 0.01$。