3.(5.0分)【单选题】已知某厂生产的电子元件的使用寿命X(以小时计)服从正态分布N(6000.σ²)，且P(5000≤X≤7000)=0.8，则σ=()。已知Φ(1.282)=0.9A. 800B. 780C. 820D. 850

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的转化和计算。解题的关键思路是先将给定的非标准正态分布转化为标准正态分布，再利用正态分布的对称性和已知的标准正态分布函数值来求解标准差$\sigma$。

1. 将非标准正态分布转化为标准正态分布：
   已知电子元件的使用寿命$X$服从正态分布$N(6000,\sigma^{2})$，根据正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差），这里$\mu = 6000$，则$Z=\frac{X - 6000}{\sigma}$服从标准正态分布$N(0,1)$。
   对于$P(5000\leq X\leq7000)$，将其转化为关于$Z$的概率：
   当$X = 5000$时，$Z_1=\frac{5000 - 6000}{\sigma}=-\frac{1000}{\sigma}$；当$X = 7000$时，$Z_2=\frac{7000 - 6000}{\sigma}=\frac{1000}{\sigma}$。
   所以$P(5000\leq X\leq7000)=P\left(\frac{-1000}{\sigma}\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)$。
2. 利用正态分布的对称性计算概率：
   因为标准正态分布$N(0,1)$的概率密度函数图像关于$y$轴对称，所以$P\left(\frac{-1000}{\sigma}\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=2P\left(0\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)$。
   又因为$P\left(Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=P\left(Z\leq0\right)+P\left(0\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)$，且$P\left(Z\leq0\right)=0.5$，已知$P\left(\frac{-1000}{\sigma}\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=0.8$，则$2P\left(0\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=0.8$，可得$P\left(0\leq Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=0.4$。
   那么$P\left(Z\leq\frac{1000}{\sigma}\right)=0.5 + 0.4=0.9$。
3. 根据已知标准正态分布函数值求解$\sigma$：
   已知$\varPhi(1.282)=0.9$，而$\varPhi(z)=P(Z\leq z)$，所以$\frac{1000}{\sigma}=1.282$。
   求解$\sigma$，$\sigma=\frac{1000}{1.282}\approx780$。