23. (3.0分) 设总体 X sim N(mu, sigma^2), X_(1), X_(2), ..., X_(n) 为来自总体X的简单随机样本，则 sum_(i=1)^n((X_(i)-overline(X))/(sigma))^2 sim chi^2(n-1).A. 对B. 错

本题考查正态总体样本统计量的分布，具体是卡方分布的定义及性质。解题的关键在于理解卡方分布的定义，并结合正态总体样本的性质来判断给定统计量的分布。

步骤一：明确卡方分布的定义

若$Z_1,Z_2,\cdots,Z_m$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则随机变量$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_m^2$服从自由度为$m$的卡方分布，记为$\chi^2\sim\chi^2(m)$。

步骤二：分析样本$X_i$的性质

已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^{2})$，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为来自总体$X$的简单随机样本，则$X_i\sim N(\mu, \sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$。
对$X_i$进行标准化，可得$\frac{X_i - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。

步骤三：引入样本均值$\overline{X}$

样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，且$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，进一步标准化得到$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$。

步骤四：分析$\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}$的性质

可以证明$\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}=\frac{(X_i - \mu)-(\overline{X} - \mu)}{\sigma}$，且$\sum_{i = 1}^{n}\frac{(X_i - \overline{X})^2}{\sigma^2}=\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma})^2$。
由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立，且$\overline{X}$是$X_1,X_2,\cdots,X_n$的线性组合，那么$X_1 - \overline{X},X_2 - \overline{X},\cdots,X_n - \overline{X}$之间存在一个线性约束关系$\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \overline{X}) = 0$，即它们不是相互独立的。
但是，$\frac{X_1 - \overline{X}}{\sigma},\frac{X_2 - \overline{X}}{\sigma},\cdots,\frac{X_{n - 1} - \overline{X}}{\sigma}$是相互独立的，且都服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤五：根据卡方分布定义判断

根据卡方分布的定义，$\sum_{i = 1}^{n - 1}(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma})^2$服从自由度为$n - 1$的卡方分布，即$\sum_{i = 1}^{n}(\frac{X_{i}-\overline{X}}{\sigma})^{2} \sim \chi^{2}(n - 1)$。