题目

某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：月份x12345销量y(百台)0.60.81.21.61.8(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y(百件)与月份x之间的相关关系。请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程̂y=̂bx+̂a，并预测6月份该商场空调的销售量；(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查。假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率。参考公式与数据：线性回归方程̂y=̂bx+̂a,其中̂b=dfrac(ni=1x_{i)y_(i)-n x y}(ni=1x_{i)^2-n x^2},5i=1xiyi=21.2.

某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：

月份x12345
销量y(百台)0.60.81.21.61.8
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y(百件)与月份x之间的相关关系。请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程̂y=̂bx+̂a，并预测6月份该商场空调的销售量；

(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查。假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：

有购买意愿对应的月份789101112
频数60801201308030
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率。

参考公式与数据：线性回归方程̂y=̂bx+̂a,其中̂b=\dfrac{ni=1x_{i}y_{i}-n  x  y}{ni=1x_{i}^{2}-n  x^{2}},5i=1xiyi=21.2.

题目解答

答案

(1)∵x=15(1+2+3+4+5)=3,y=15(0.6+0.8+1.2+1.6+1.8)=1.2，

∴̂b=21.2−5×3×1.255−5×32=0.32，

则̂a=1.2−0.32×3=0.24，

于是y关于x的回归直线方程为̂y=0.32x+0.24.

当x=6时,̂y=0.32×6+0.24=2.16(百台)；

(2)现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B.

从这6人中随机抽取3人的所有情况为(a,b,c)、(a,b,d)、(a,b,A)、(a,b,B)、(a,c,d)、(a,c,A)、(a,c,B)、(a,d,A)、(a,d,B)、(a,A,B)、(b,c,d)、(b,c,A)、(b,c,B)、(b,d,A)、(b,d,B)、(b,A,B)、(c,d,A)、(c,d,B)、(c,A,B)、(d,A,B)，共20种，

恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(a,A,B)、(b,A,B)、(c,A,B)、(d,A,B)，共4种，

故所求概率为P=420=15.

解析

步骤 1：计算x和y的平均值
根据题目给出的数据，计算x和y的平均值。x的平均值为(1+2+3+4+5)/5=3，y的平均值为(0.6+0.8+1.2+1.6+1.8)/5=1.2。
步骤 2：计算线性回归方程的斜率和截距
根据线性回归方程的公式，计算斜率̂b和截距̂a。斜率̂b=(21.2-5*3*1.2)/(55-5*3^2)=0.32，截距̂a=1.2-0.32*3=0.24。
步骤 3：预测6月份的销售量
将x=6代入线性回归方程，计算预测的销售量。̂y=0.32*6+0.24=2.16(百台)。
步骤 4：计算概率
从购买意愿为7月份的4人和购买意愿为12月份的2人中随机抽取3人，计算恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率。总共有C(6,3)=20种情况，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的情况有C(2,2)*C(4,1)=4种，因此概率为4/20=1/5。