题目
6.填空题总体的期望μ是未知的，X₁，…，Xₙ是一个样本，如果两个统计量(X_(1)+aX_(2)+X_(3))/(4)和(bX_(1)+X_(2)+X_(3))/(6)都是a的无偏估计，那么a等于____，b等于____，这两个无偏估计当中比较有效的是_____(最后一空选填“前者”或“后者”)
6.填空题
总体的期望μ是未知的，X₁，…，Xₙ是一个样本，如果两个统计量$\frac{X_{1}+aX_{2}+X_{3}}{4}$和$\frac{bX_{1}+X_{2}+X_{3}}{6}$都是a的无偏估计，那么a等于____，b等于____，这两个无偏估计当中比较有效的是_____(最后一空选填“前者”或“后者”)
题目解答
答案
1. **确定 $a$ 的值**
统计量 $T_1 = \frac{X_1 + aX_2 + X_3}{4}$ 的期望为
\[
E(T_1) = \frac{(2 + a)\mu}{4} = \mu \implies a = 2
\]
2. **确定 $b$ 的值**
统计量 $T_2 = \frac{bX_1 + X_2 + X_3}{6}$ 的期望为
\[
E(T_2) = \frac{(b + 2)\mu}{6} = \mu \implies b = 4
\]
3. **比较有效性**
计算方差：
\[
D(T_1) = \frac{6\sigma^2}{16} = \frac{3\sigma^2}{8}, \quad D(T_2) = \frac{18\sigma^2}{36} = \frac{\sigma^2}{2}
\]
由于 $\frac{3\sigma^2}{8} < \frac{\sigma^2}{2}$，$T_1$ 更有效。
**答案：**
\[
\boxed{2, 4, \text{前者}}
\]
解析
步骤 1：确定 $a$ 的值
统计量 $T_1 = \frac{X_1 + aX_2 + X_3}{4}$ 的期望为
\[ E(T_1) = \frac{E(X_1) + aE(X_2) + E(X_3)}{4} = \frac{(1 + a + 1)\mu}{4} = \frac{(2 + a)\mu}{4} \]
由于 $T_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计，我们有
\[ \frac{(2 + a)\mu}{4} = \mu \]
解得 $a = 2$。
步骤 2：确定 $b$ 的值
统计量 $T_2 = \frac{bX_1 + X_2 + X_3}{6}$ 的期望为
\[ E(T_2) = \frac{E(bX_1) + E(X_2) + E(X_3)}{6} = \frac{(b + 1 + 1)\mu}{6} = \frac{(b + 2)\mu}{6} \]
由于 $T_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计，我们有
\[ \frac{(b + 2)\mu}{6} = \mu \]
解得 $b = 4$。
步骤 3：比较有效性
计算方差：
\[ D(T_1) = \frac{D(X_1) + a^2D(X_2) + D(X_3)}{4^2} = \frac{\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2}{16} = \frac{6\sigma^2}{16} = \frac{3\sigma^2}{8} \]
\[ D(T_2) = \frac{D(bX_1) + D(X_2) + D(X_3)}{6^2} = \frac{16\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2}{36} = \frac{18\sigma^2}{36} = \frac{\sigma^2}{2} \]
由于 $\frac{3\sigma^2}{8} < \frac{\sigma^2}{2}$，$T_1$ 更有效。
统计量 $T_1 = \frac{X_1 + aX_2 + X_3}{4}$ 的期望为
\[ E(T_1) = \frac{E(X_1) + aE(X_2) + E(X_3)}{4} = \frac{(1 + a + 1)\mu}{4} = \frac{(2 + a)\mu}{4} \]
由于 $T_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计，我们有
\[ \frac{(2 + a)\mu}{4} = \mu \]
解得 $a = 2$。
步骤 2：确定 $b$ 的值
统计量 $T_2 = \frac{bX_1 + X_2 + X_3}{6}$ 的期望为
\[ E(T_2) = \frac{E(bX_1) + E(X_2) + E(X_3)}{6} = \frac{(b + 1 + 1)\mu}{6} = \frac{(b + 2)\mu}{6} \]
由于 $T_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计，我们有
\[ \frac{(b + 2)\mu}{6} = \mu \]
解得 $b = 4$。
步骤 3：比较有效性
计算方差：
\[ D(T_1) = \frac{D(X_1) + a^2D(X_2) + D(X_3)}{4^2} = \frac{\sigma^2 + 4\sigma^2 + \sigma^2}{16} = \frac{6\sigma^2}{16} = \frac{3\sigma^2}{8} \]
\[ D(T_2) = \frac{D(bX_1) + D(X_2) + D(X_3)}{6^2} = \frac{16\sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2}{36} = \frac{18\sigma^2}{36} = \frac{\sigma^2}{2} \]
由于 $\frac{3\sigma^2}{8} < \frac{\sigma^2}{2}$，$T_1$ 更有效。