[单选题]一组观察值如果每个值都同时增加或减少一个不为0的常数,则A. 均数改变,几何均数不变B. 均数改变,中位数不变C. 均数,几何均数和中位数都改变D. 均数不变,几何均数和中位数改变E. 均数,几何均数和中位数都不变

本题考查的知识点是集中趋势指标（均数、几何均数、中位数）在数据进行相同常数的加减变换时的变化情况。解题思路是分别分析均数、几何均数和中位数在每个值都同时增加或减少一个不为 0 的常数时的变化规律。

1. 均数的变化分析

设一组观察值为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，其均数$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$。
若每个值都增加一个常数$c$（$c\neq0$），则新的观察值为$x_1 + c,x_2 + c,\cdots,x_n + c$，新均数$\bar{x}'$为：
$\begin{align*}\bar{x}'&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i + c)\\&=\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}x_i+\sum_{i = 1}^{n}c)\\&=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i+\frac{1}{n}\times nc\\&=\bar{x}+c\end{align*}$
同理，若每个值都减少一个常数$c$（$c\neq0$），新均数$\bar{x}''=\bar{x}-c$。
所以，当每个值都同时增加或减少一个不为 0 的常数时，均数会改变。

2. 几何均数的变化分析

设一组观察值为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，其几何均数$G=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$。
若每个值都增加一个常数$c$（$c\neq0$），则新的观察值为$x_1 + c,x_2 + c,\cdots,x_n + c$，新几何均数$G'$为$G'=\sqrt[n]{(x_1 + c)(x_2 + c)\cdots(x_n + c)}$。
显然$G'\neq G$，同理，若每个值都减少一个常数$c$（$c\neq0$），新几何均数$G''\neq G$。
所以，当每个值都同时增加或减少一个不为 0 的常数时，几何均数会改变。

3. 中位数的变化分析

中位数是将一组观察值按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的数值（如果观察值个数为奇数），或者中间两个数的平均值（如果观察值个数为偶数）。
设一组观察值按从小到大排列为$x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq\cdots\leq x_{(n)}$，中位数为$M$。
若每个值都增加一个常数$c$（$c\neq0$），则新的观察值按从小到大排列为$x_{(1)} + c\leq x_{(2)} + c\leq\cdots\leq x_{(n)} + c$，新中位数$M'$为：
当$n$为奇数时，$M'=x_{(\frac{n + 1}{2})}+c$；当$n$为偶数时，$M'=\frac{(x_{(\frac{n}{2})}+c)+(x_{(\frac{n}{2}+1)}+c)}{2}=\frac{x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}+c = M + c$。
同理，若每个值都减少一个常数$c$（$c\neq0$），新中位数$M''=M - c$。
所以，当每个值都同时增加或减少一个不为 0 的常数时，中位数会改变。

综上，均数、几何均数和中位数都改变。