题目

8.已知总体X服从正态分布N(μ，σ²)，其中μ∈R和σ²>0均未知，X_(1)，X_(2)，…，X_(16)是来自总体X的简单随机样本，对假设检验问题H_(0)：sigma^2=2，H_(1)：sigma^2=5，取拒绝域W=S^2geq3.679，则该检验犯第二类错误的概率为____。

8.已知总体X服从正态分布N(μ，σ²)，其中μ∈R和σ²>0均未知，$X_{1}$，$X_{2}$，…，$X_{16}$是来自总体X的简单随机样本，对假设检验问题$H_{0}：\sigma^{2}=2$，$H_{1}：\sigma^{2}=5$，取拒绝域$W=\{S^{2}\geq3.679\}$，则该检验犯第二类错误的概率为____。

题目解答

答案

1. **确定拒绝域和接受域：** 拒绝域 $ W = \{ S^2 \geq 3.679 \} $，接受域 $ W^c = \{ S^2 < 3.679 \} $。 2. **计算第二类错误概率：** 当 $ H_1: \sigma^2 = 5 $ 为真时， \[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{15S^2}{5} = 3S^2 \sim \chi^2_{15} \] 需求 $ P(S^2 < 3.679 \mid \sigma^2 = 5) = P(3S^2 < 11.037) $。 3. **利用卡方分布：** 查表或使用软件（如R的 `pchisq` 函数）得 \[ P(\chi^2_{15} < 11.037) \approx 0.05 \] **答案：** $\boxed{0.05}$

解析

本题考查正态总体方差的假设检验中第二类错误概率的计算。解题的关键在于明确拒绝域和接受域，利用正态总体样本方差的性质将问题转化为卡方分布的概率计算。

  1. 确定拒绝域和接受域：
    • 已知拒绝域$W = \{ S^2 \geq 3.679 \}$，根据接受域与拒绝域的互补关系，可得接受域$W^c = \{ S^2 < 3.679 \}$。
  2. 计算第二类错误概率：
    • 第二类错误是指原假设$H_0$为假，备择假设$H_1$为真时接受$H_0$的概率，即$P(\text{接受}H_0|H_1\text{为真})$。
    • 当$H_1: \sigma^2 = 5$为真时，根据正态总体样本方差的性质，$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}$服从自由度为$n - 1$的卡方分布，这里$n = 16$，所以$\frac{(16 - 1)S^2}{5}=\frac{15S^2}{5}=3S^2\sim\chi^2_{15}$。
    • 那么$P(\text{接受}H_0|H_1\text{为真}) = P(S^2 < 3.679|\sigma^2 = 5)$，对不等式$S^2 < 3.679$两边同时乘以$3$，得到$P(3S^2 < 11.037)$。
    • 由于$3S^2\sim\chi^2_{15}$，所以$P(3S^2 < 11.037)=P(\chi^2_{15} < 11.037)$。
  3. 利用卡方分布求概率：
    • 通过查阅卡方分布表或者使用统计软件（如R的pchisq函数），可以得到$P(\chi^2_{15} < 11.037) \approx 0.05$。