题目

什么是总体回归函数和样本回归函数?它们之间的区别是什么?

题目解答

答案

(1)假如已知所研究的经济现象总体中因变量y和自变量x的每个观测值便可以计算总体因变量y的条件期望E(y|x i )并将其表现为自变量x的某种函数这个函数称为总体回归函数(简记为PRF)。 (2)如果把因变量y的样本条件期望表示为自变量x的某种函数这个函数称为样本回归函数(简记为SRF)。 (3)总体回归函数和样本回归函数的区别 ①总体回归函数虽然未知但它是确定的；而由于从总体中每次抽样都能获得一个样本就都可以拟合一条样本回归线所以样本回归线是随抽样的样本而变化的可以有许多条。所以样本回归线还不是总体回归线至多只是未知总体回归线的近似表现。 ②总体回归函数的参数α和β是确定的常数；而样本回归函数的参数是随抽样而变化的随机变量。此外总体回归函数中的μ i 是不可直接观测的而样本回归函数中的e i 是只要估计出样本回归的参数就可以计算的数值。 (1)假如已知所研究的经济现象总体中因变量y和自变量x的每个观测值,便可以计算总体因变量y的条件期望E(y|xi),并将其表现为自变量x的某种函数,这个函数称为总体回归函数(简记为PRF)。(2)如果把因变量y的样本条件期望表示为自变量x的某种函数,这个函数称为样本回归函数(简记为SRF)。(3)总体回归函数和样本回归函数的区别①总体回归函数虽然未知,但它是确定的；而由于从总体中每次抽样都能获得一个样本,就都可以拟合一条样本回归线,所以样本回归线是随抽样的样本而变化的,可以有许多条。所以,样本回归线还不是总体回归线,至多只是未知总体回归线的近似表现。②总体回归函数的参数α和β是确定的常数；而样本回归函数的参数是随抽样而变化的随机变量。此外,总体回归函数中的μi是不可直接观测的,而样本回归函数中的ei是只要估计出样本回归的参数就可以计算的数值。

解析

总体回归函数（PRF）和样本回归函数（SRF）是计量经济学中的核心概念，主要考查对回归分析基本框架的理解。

核心思路：两者均描述因变量与自变量的关系，但PRF针对总体数据，SRF针对样本数据。
关键区别：PRF是理论上的、确定的，而SRF是通过样本估计的、具有随机性。需重点区分两者的参数性质及误差项的可观察性。

总体回归函数（PRF）

定义：在总体中，因变量y的条件期望 $E(y|x_i)$ 表现为自变量x的函数，即：
$y = \alpha + \beta x + \mu$
其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是确定的总体参数，$\mu$ 是不可观测的随机误差项。

样本回归函数（SRF）

定义：通过样本数据拟合的回归线，将样本条件期望表示为x的函数：
$\hat{y} = \hat{\alpha} + \hat{\beta}x + e$
其中，$\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$ 是估计的样本参数，$e$ 是残差项（可计算）。

两者的区别

确定性与随机性
- PRF是确定的，但未知，需通过统计推断揭示。
- SRF是随机的，因参数依赖于样本抽选，每次抽样可能得到不同SRF。
参数性质
- PRF的参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 是固定常数。
- SRF的参数 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{\beta}$ 是随机变量，会随样本变化。
误差项的可观察性
- PRF中的 $\mu$ 无法直接观测。
- SRF中的残差 $e$ 可通过参数估计计算。