考虑序列 1, 2, 3, 4, 5, ..., 20.(1) 判断该序列是否平稳.(2) 计算该序列的样本自相关系数 widehat(rho)_k (k = 1, 2, ..., 6).(3) 绘制该样本自相关图，并解释该图形.

本题主要考察时间序列的平稳性判断、样本自相关系数的计算以及样本自相关图的绘制与解释。解题思路如下：

1. 判断序列平稳性：
   • 平稳序列要求均值和方差不随时间变化。对于给定的序列 $\{1, 2, 3, 4, 5, \cdots, 20\}$，它是一个线性增长的确定性趋势序列。
   • 计算该序列的均值 $\bar{x}$，根据均值公式 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，其中 $n = 20$，$x_i=i$，则 $\bar{x}=\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}i$。
   • 由等差数列求和公式 $\sum_{i = 1}^{n}i=\frac{n(n + 1)}{2}$，可得 $\bar{x}=\frac{1}{20}\times\frac{20\times(20 + 1)}{2}=\frac{21}{2}=10.5$。
   • 计算方差 $s^2$，根据方差公式 $s^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$。
   • 由于该序列是线性增长的，随着时间 $i$ 的变化，均值和方差都会发生变化，所以该序列为非平稳序列。
2. 计算样本自相关系数 $\widehat{\rho}_k$：
   • 样本自相关系数的计算公式为 $\widehat{\rho}_k=\frac{\sum_{t = 1}^{n - k}(x_t-\bar{x})(x_{t + k}-\bar{x})}{\sum_{t = 1}^{n}(x_t-\bar{x})^2}$。
   • 先计算 $\sum_{t = 1}^{n}(x_t-\bar{x})^2$：
     • $\sum_{t = 1}^{20}(t - 10.5)^2=\sum_{t = 1}^{20}(t^2-21t + 110.25)$。
     • 根据 $\sum_{t = 1}^{n}t^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$，$\sum_{t = 1}^{n}t=\frac{n(n + 1)}{2}$，可得：
       • $\sum_{t = 1}^{20}t^2=\frac{20\times(20 + 1)\times(2\times20 + 1)}{6}=2870$，$\sum_{t = 1}^{20}t=\frac{20\times(20 + 1)}{2}=210$。
       • $\sum_{t = 1}^{20}(t^2-21t + 110.25)=\sum_{t = 1}^{20}t^2-21\sum_{t = 1}^{20}t+20\times110.25=2870-21\times210 + 2205=2870-4410 + 2205=665$。
   • 当 $k = 1$ 时：
     • $\sum_{t = 1}^{19}(t - 10.5)(t + 1-10.5)=\sum_{t = 1}^{19}(t - 10.5)(t - 9.5)=\sum_{t = 1}^{19}(t^2-20t + 99.75)$。
     • $\sum_{t = 1}^{19}t^2=\frac{19\times(19 + 1)\times(2\times19 + 1)}{6}=2470$，$\sum_{t = 1}^{19}t=\frac{19\times(19 + 1)}{2}=190$。
     • $\sum_{t = 1}^{19}(t^2-20t + 99.75)=\sum_{t = 1}^{19}t^2-20\sum_{t = 1}^{19}t+19\times99.75=2470-20\times190+1895.25=2470-3800 + 1895.25=565.25$。
     • 则 $\widehat{\rho}_1=\frac{565.25}{665}\approx0.850$。
   • 当 $k = 2$ 时：
     • $\sum_{t = 1}^{18}(t - 10.5)(t + 2-10.5)=\sum_{t = 1}^{18}(t - 10.5)(t - 8.5)=\sum_{t = 1}^{18}(t^2-19t + 89.25)$。
     • $\sum_{t = 1}^{18}t^2=\frac{18\times(18 + 1)\times(2\times18 + 1)}{6}=2109$，$\sum_{t = 1}^{18}t=\frac{18\times(18 + 1)}{2}=171$。
     • $\sum_{t = 1}^{18}(t^2-19t + 89.25)=\sum_{t = 1}^{18}t^2-19\sum_{t = 1}^{18}t+18\times89.25=2109-19\times171+1606.5=2109-3249+1606.5=466.5$。
     • 则 $\widehat{\rho}_2=\frac{466.5}{665}\approx0.702$。
   • 同理可计算出 $k = 3,4,5,6$ 时的样本自相关系数：
     • 当 $k = 3$ 时，$\sum_{t = 1}^{17}(t - 10.5)(t + 3-10.5)=\sum_{t = 1}^{17}(t - 10.5)(t - 7.5)=\sum_{t = 1}^{17}(t^2-18t + 78.75)=369.75$，$\widehat{\rho}_3=\frac{369.75}{665}\approx0.556$。
     • 当 $k = 4$ 时，$\sum_{t = 1}^{16}(t - 10.5)(t + 4-10.5)=\sum_{t = 1}^{16}(t - 10.5)(t - 6.5)=\sum_{t = 1}^{16}(t^2-17t + 68)=276$，$\widehat{\rho}_4=\frac{276}{665}\approx0.414$。
     • 当 $k = 5$ 时，$\sum_{t = 1}^{15}(t - 10.5)(t + 5-10.5)=\sum_{t = 1}^{15}(t - 10.5)(t - 5.5)=\sum_{t = 1}^{15}(t^2-16t + 57.75)=186.25$，$\widehat{\rho}_5=\frac{186.25}{665}\approx0.280$。
     • 当 $k = 6$ 时，$\sum_{t = 1}^{14}(t - 10.5)(t + 6-10.5)=\sum_{t = 1}^{14}(t - 10.5)(t - 4.5)=\sum_{t = 1}^{14}(t^2-15t + 47.25)=101.5$，$\widehat{\rho}_6=\frac{101.5}{665}\approx0.153$。
3. 绘制样本自相关图并解释：
   • 以滞后 $k$ 为横轴，样本自相关系数 $\widehat{\rho}_k$ 为纵轴，绘制各点 $(1, 0.85)$、$(2, 0.70)$、$(3, 0.56)$、$(4, 0.41)$、$(5, 0.28)$、$(6, 0.15)$，可以看到 $\widehat{\rho}_k$ 随 $k$ 增加逐渐减小，呈拖尾现象。
   • 这种拖尾现象表明序列具有显著的趋势性，当前值与过去值高度相关，且相关性随滞后增加而减弱。该图形进一步说明序列非平稳，需通过差分等方法消除趋势后才能建模。